Analyse et corrigé du Bac Blanc de Mathématiques (Sujet 17) - Niveau Terminale Spécialité

Ce sujet de Bac Blanc pour la Terminale spécialité mathématiques est un excellent entraînement pour l'épreuve finale. D'une durée de 4 heures, il balaye une grande partie du programme à travers cinq exercices complets et indépendants. Les thèmes abordés incluent les probabilités avec le dénombrement et la loi binomiale, l'étude de suites numériques via une modélisation et un raisonnement par récurrence, l'analyse de fonction avec le logarithme népérien et un problème d'optimisation, et enfin la géométrie dans l'espace avec le produit scalaire, les plans et les droites.

Exercice 1 : Probabilités, Dénombrement et Loi Binomiale (8 points)

Cet exercice de probabilités s'articule autour d'un jeu de tirage de lettres dans un sac. Il permet de tester les compétences fondamentales du chapitre.

• Dénombrement : La première question demande de déterminer le nombre de tirages possibles en utilisant les combinaisons. Pour un tirage simultané de 2 lettres parmi 8, on utilise la formule \( C_8^2 \).
• Calcul de probabilité : Il s'agit ensuite de calculer la probabilité d'un événement, ici "tirer une voyelle et une consonne", en rapportant le nombre de cas favorables au nombre de cas total.
• Variable aléatoire et Espérance : La deuxième partie introduit une variable aléatoire \( G \) représentant le gain algébrique. Il faut établir sa loi de probabilité puis calculer son espérance \( E(G) \) pour déterminer la condition sous laquelle le jeu est favorable au joueur (\( E(G) \geq 0 \)).
• Loi Binomiale : La troisième partie modélise la répétition de l'épreuve avec 10 joueurs. Il est demandé de justifier que la variable aléatoire \( X \) comptant le nombre de gagnants suit une loi binomiale, d'en donner les paramètres \( n=10 \) et \( p=\frac{3}{7} \). Les calculs portent sur \( P(X=k) \) et \( P(X \geq k) \), ainsi que sur la recherche d'un seuil.
• Inéquation et Logarithme : La dernière question est un problème de seuil qui se résout par une inéquation de la forme \( (1-p)^m < 0.01 \), nécessitant l'utilisation de la fonction logarithme.

Exercice 2 : Étude d'une suite et modélisation (9 points)

Cet exercice est un problème de modélisation de l'évolution d'une population animale à l'aide d'une suite récurrente de la forme \( u_{n+1} = f(u_n) \). C'est un classique qui mêle l'étude de fonctions et l'étude de suites.

• Étude de fonction : Il faut d'abord étudier la fonction \( f(x) = 0.75x(1-0.15x) \) sur l'intervalle \( [0, 1] \), notamment sa croissance en étudiant le signe de sa dérivée. La résolution de l'équation \( f(x)=x \) permet de trouver les points fixes, qui sont les limites potentielles de la suite.
• Raisonnement par récurrence : Une question centrale demande de démontrer par récurrence que la suite \( (u_n) \) est décroissante et minorée, en utilisant les variations de la fonction \( f \).
• Convergence de suite : En s'appuyant sur le raisonnement par récurrence, on applique le théorème de la convergence monotone pour prouver que la suite est convergente, puis on détermine sa limite.
• Algorithmique : La fin de l'exercice propose d'interpréter un programme Python qui simule le comportement de la suite jusqu'à ce qu'elle passe sous un certain seuil, liant ainsi le calcul mathématique à une application concrète.

Exercice 3 : Fonction Logarithme et Optimisation (10 points)

Cet exercice complet en trois parties se concentre sur l'analyse de fonctions impliquant le logarithme népérien, allant de la lecture graphique à un problème d'optimisation.

• Lecture graphique : La première partie consiste à exploiter un graphique pour lire une image \( g(1) \) et un nombre dérivé \( g'(1) \) (via la pente de la tangente), afin de déterminer les paramètres d'une fonction \( g(x) = ax + 50 + b \ln x \).
• Étude d'une fonction auxiliaire : La deuxième partie guide l'étude complète de la fonction \( f(x) = -30x + 50 + 35 \ln x \). Cela inclut le calcul de la dérivée, l'établissement du tableau de variation et l'application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation \( f(x)=0 \).
• Problème d'optimisation : La dernière partie utilise les résultats précédents pour résoudre un problème économique. On étudie une fonction de bénéfice \( B(x) \) en montrant que sa dérivée \( B'(x) \) est égale à la fonction auxiliaire \( f(x) \). Le signe de \( f(x) \) donne alors les variations de \( B(x) \), permettant de trouver le bénéfice maximal.

Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace (10 points)

Cet exercice aborde de nombreux concepts de la géométrie dans l'espace dans le cadre d'un repère orthonormé.

• Orthogonalité : La première question évalue la maîtrise du produit scalaire pour démontrer l'orthogonalité de deux droites via le calcul de \( \vec{u} \cdot \vec{v} \).
• Plan dans l'espace : Il est demandé de prouver qu'un vecteur est normal à un plan, puis d'en déduire une équation cartésienne du plan de la forme \( ax+by+cz+d=0 \).
• Droite et projeté orthogonal : L'exercice se poursuit avec la détermination d'une représentation paramétrique d'une droite orthogonale à un plan, puis le calcul des coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur ce plan en résolvant l'intersection de la droite et du plan.
• Volume et Aires : La dernière partie est un calcul en cascade : calcul du volume d'un tétraèdre \( V = \frac{1}{3} \mathcal{A}_{base} \times h \), calcul de la distance d'un point à un plan (hauteur du tétraèdre), et enfin déduction de l'aire d'une face du tétraèdre en utilisant la formule du volume.

Exercice 5 : Suites géométriques et Logarithme (3 points)

Ce court exercice final fait le lien entre les suites, la fonction logarithme et la fonction exponentielle.

• Suite auxiliaire : On introduit une suite auxiliaire \( (v_n) \) définie par \( v_n = \ln(u_n) - 1 \) pour étudier la nature de la suite principale \( (u_n) \). L'objectif est de montrer que \( (v_n) \) est une suite arithmétique (note : il y a une coquille dans l'énoncé demandant de prouver qu'elle est géométrique).
• Forme explicite : Une fois la nature de \( (v_n) \) établie, on doit trouver son expression explicite, puis en déduire celle de \( (u_n) \) en utilisant la fonction exponentielle.
• Limite de suite : La dernière question consiste simplement à déterminer la limite de la suite \( (u_n) \) à partir de son expression explicite.