Ce sujet de maths de niveau Terminale, option Maths Complémentaires, est un contrôle complet d'une heure sur le chapitre des lois de probabilités discrètes. Sans calculatrice, il teste en profondeur la compréhension des concepts fondamentaux tels que l'épreuve de Bernoulli, la loi binomiale, ainsi que l'utilisation des arbres pondérés pour résoudre des problèmes de probabilités conditionnelles. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant une évaluation. Ce contrôle corrigé est décomposé en trois exercices progressifs, balayant les compétences essentielles du programme.

Exercice 1 : Lois de Bernoulli et Binomiale (4 points)

Cet exercice introductif vise à vérifier la reconnaissance des lois de probabilités usuelles et la maîtrise des calculs de base associés à la loi binomiale.

• Question 1 : Il s'agit d'identifier, sans justification, la loi suivie par une variable aléatoire dans trois scénarios distincts :
  • a) Le nombre de '6' obtenus en quatre lancers de dé : un cas d'école de loi binomiale.
  • b) Le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un '6' : reconnaissance d'une loi géométrique.
  • c) Une variable valant 1 ou 0 selon la couleur d'une carte tirée : une épreuve de Bernoulli typique.
• Question 2 : Application directe de la loi binomiale pour une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi \(\mathcal{B}(4, \frac{1}{2})\). Les élèves doivent :
  • Construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne \(n=4\) pour en déduire le coefficient binomial \(\binom{4}{2}\).
  • Calculer à la main la probabilité d'un événement précis, \(P(X=2) = \binom{4}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^2\), et une probabilité cumulée \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)\).
• Question 3 : Une question plus avancée qui demande de déterminer le plus petit entier \(k\) tel que la probabilité cumulée \(P(X \le k) \ge 0,9\). Cela implique de calculer pas à pas les valeurs de la fonction de répartition.

Exercice 2 : Urnes, Arbres Pondérés et Simulation Python (8 points)

Cet exercice complexe mêle probabilités conditionnelles classiques avec un contexte de programmation en Python, reflétant les nouvelles orientations du programme. L'expérience aléatoire consiste à choisir une urne après un lancer de pièce, puis à y tirer une boule.

• Question 1 : La compétence de base testée est la modélisation d'une situation à l'aide d'un arbre pondéré et l'utilisation de la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité de tirer une boule rouge, notée \(P(R)\).
• Question 2 : La partie algorithmique commence par l'analyse d'une fonction Python bernoulli(p), qui simule une épreuve de Bernoulli. Il faut ensuite compléter une autre fonction pour modéliser l'expérience complète.
• Question 3 : Il est demandé d'interpréter le résultat d'une fonction de fréquence, qui est une estimation d'une probabilité conditionnelle. L'objectif est de calculer la valeur exacte de cette probabilité, \(P(A|R)\) (probabilité que la boule vienne de l'urne A sachant qu'elle est rouge), ce qui revient à "inverser" l'arbre de probabilités.
• Question 4 : Cette question porte sur l'analyse d'un algorithme (fonction rang()) qui est supposé trouver le rang du premier succès. Après correction du code, il faut identifier la loi de la variable aléatoire sous-jacente (loi géométrique), préciser son paramètre, et calculer sa probabilité en un point (\(P(K=3)\)) ainsi que son espérance mathématique \(E(K)\).

Exercice 3 : Test de Diagnostic et Loi Binomiale (8 points)

Ce dernier exercice est un problème concret classique sur les tests de dépistage, très formateur pour comprendre l'application des probabilités conditionnelles et de la loi binomiale. Il est divisé en deux parties.

• Partie A - Hors période épidémique : On étudie la fiabilité d'un test de la grippe en fonction de sa sensibilité et de sa spécificité.
  • Les premières questions sont une application directe des arbres pondérés pour calculer \(P(M \cap T)\) (probabilité que le patient ait la grippe et soit testé positif) et \(P(T)\) via la formule des probabilités totales.
  • La question clé est le calcul de la probabilité que le patient ait réellement la grippe sachant que son test est positif, \(P(M|T)\). C'est un cas d'application de la formule de Bayes (ou inversion de l'arbre).
  • On explore ensuite l'influence de la prévalence de la maladie sur cette probabilité, en comparant un contexte hors épidémie (10% de malades) et un contexte d'épidémie (50% de malades).
• Partie B - Quatre patients : Cette partie modélise une situation où l'on observe quatre patients testés positifs.
  • La première étape est de justifier que la variable aléatoire \(Y\), comptant le nombre de patients réellement malades parmi les quatre, suit une loi binomiale. Le paramètre "succès" de cette loi est la probabilité \(P(M|T)\) calculée dans la partie A.
  • Les dernières questions sont des calculs de probabilités sur cette loi binomiale : calculer \(P(Y=4)\) (les quatre sont malades) et \(P(Y \ge 1)\) (au moins un est malade), en interprétant le résultat.