Contrôle Corrigé sur la Convexité - Terminale Maths Complémentaires

Ce document propose un sujet de contrôle complet sur le chapitre de la convexité, destiné aux élèves de Terminale en spécialité Maths Complémentaires. Le sujet, d'une durée d'une heure, est composé de trois exercices variés qui balayent l'ensemble des compétences clés du chapitre : l'étude de la convexité et des points d'inflexion par le calcul et graphiquement, ainsi qu'une application économique concrète avec la courbe de Lorenz. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous auto-évaluer et de consolider vos connaissances.

Les notions abordées incluent :

• La dérivation première et seconde de fonctions polynomiales et exponentielles.
• La détermination de la convexité d'une fonction à partir du signe de sa dérivée seconde.
• L'identification des points d'inflexion d'une courbe.
• La lecture graphique de la convexité et des points d'inflexion.
• L'application des concepts de convexité à un problème d'économie (inégalités de revenus).

Exercice 1 : Vrai ou Faux

Cet exercice teste la compréhension fondamentale des définitions et des théorèmes liés à la convexité. Chaque affirmation doit être justifiée.

• Affirmation 1 : On étudie la fonction \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). Pour déterminer si la courbe admet un point d'inflexion en \(x=1\), il faut calculer la dérivée seconde \(f''(x)\). On a \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\) et \(f''(x) = 6x - 6\). La dérivée seconde s'annule pour \(x=1\). En étudiant son signe, on voit que \(f''(x)\) est négative avant 1 (fonction concave) et positive après 1 (fonction convexe). Le changement de signe confirme la présence d'un point d'inflexion. L'affirmation est donc vraie.
• Affirmation 2 : Pour la fonction \(g(x) = xe^x\), on cherche un point d'inflexion en \(x=-1\). On utilise la formule de dérivation d'un produit : \(g'(x) = (x+1)e^x\). En dérivant une seconde fois, on obtient \(g''(x) = (x+2)e^x\). La dérivée seconde \(g''(x)\) s'annule en \(x=-2\), et non en \(x=-1\). C'est en \(x=-2\) que se trouve le point d'inflexion. L'affirmation est donc fausse.
• Affirmation 3 : L'affirmation "Si \(f''(a) = 0\), alors la courbe admet un point d'inflexion en \(a\)" est un piège classique. Cette condition est nécessaire mais pas suffisante. Il faut également que la dérivée seconde change de signe en \(a\). Un contre-exemple est la fonction \(f(x) = x^4\), pour laquelle \(f''(0) = 0\) mais qui est toujours convexe. L'affirmation est donc fausse.
• Affirmation 4 & 5 : Ces questions portent sur l'analyse graphique d'une courbe \(C_h\). En observant la courbe, on constate qu'elle est "tournée vers le bas" (concave) sur l'intervalle \([-3, 0]\) et "tournée vers le haut" (convexe) sur \([0, 3]\). Par conséquent, la fonction n'est pas convexe sur \([-3, 3]\) en entier (Affirmation 4 fausse), mais elle change bien de convexité en \(x=0\), qui est donc l'abscisse d'un point d'inflexion (Affirmation 5 vraie).

Exercice 2 : Questionnaire à Choix Multiples

Ce QCM évalue la rapidité et la précision dans l'application des techniques de dérivation et d'analyse de la convexité.

• Question 1 : Calcul de la dérivée seconde de \(f(x) = 2x^3 - x^2 + 5x - 1\). Un calcul direct donne \(f'(x) = 6x^2 - 2x + 5\) et \(f''(x) = 12x - 2\).
• Question 2 : Calcul de la dérivée seconde de \(f(x) = e^{-2x}\). Il s'agit de dériver une fonction composée. \(f'(x) = -2e^{-2x}\) et \(f''(x) = (-2) \times (-2e^{-2x}) = 4e^{-2x}\).
• Question 3 : Étude de la convexité à partir de \(f''(x) = (x-3)(x+1)\). La fonction \(f\) est convexe lorsque \(f''(x) \ge 0\). Il s'agit d'étudier le signe d'un polynôme du second degré, qui est positif à l'extérieur de ses racines (-1 et 3). La fonction est donc convexe sur \(]-\infty, -1]\) et sur \([3, +\infty[\).
• Question 4 : Nombre de points d'inflexion pour \(f''(x)=(x-2)^2\). La dérivée seconde s'annule en \(x=2\), mais elle est toujours positive ou nulle. Comme elle ne change pas de signe, il n'y a aucun point d'inflexion.
• Question 5 : Lecture graphique du nombre de points d'inflexion. La courbe \(\Gamma\) change de convexité deux fois, passant de convexe à concave, puis de nouveau à convexe. Il y a donc deux points d'inflexion.
• Question 6 : Identification d'une courbe de Lorenz. Parmi les propositions, seule la fonction \(L(x) = 0.5x + 0.5x^2\) respecte toutes les conditions : \(L(0)=0\), \(L(1)=1\), croissante (car \(L'(x) = 0.5+x > 0\) sur \([0,1]\)) et convexe (car \(L''(x) = 1 > 0\)).

Exercice 3 : Les salaires d'une entreprise (Problème)

Cet exercice est un problème concret d'application qui mobilise toutes les notions du chapitre dans un contexte économique, celui de la répartition des richesses modélisée par la courbe de Lorenz.

• Question 1 : Lecture d'un tableau de données et interprétation. On apprend à lire et à manipuler les données pour en extraire des informations sur les inégalités. Le calcul des coefficients directeurs des segments montre qu'ils augmentent, ce qui est une manifestation discrète de la convexité de la courbe de Lorenz.
• Question 2 & 3 : On étudie le modèle mathématique \(L(x) = 0.2x + 0.5x^2 + 0.3x^3\). On vérifie sa pertinence et on démontre, par le calcul de \(L'(x)\) et \(L''(x)\) et l'étude de leur signe sur \([0,1]\), que la fonction est bien croissante et convexe, comme l'exige la théorie des courbes de Lorenz.
• Question 4 : On étudie la position de la courbe de Lorenz par rapport à la droite d'équirépartition \(\Delta\) d'équation \(y=x\). En étudiant le signe de la différence \(x-L(x)\), on montre que la courbe \(C_L\) est toujours en dessous de la droite \(\Delta\), ce qui traduit l'existence d'inégalités dans la répartition des salaires.
• Question 5 : Recherche de l'écart maximal entre la situation réelle et la situation égalitaire. Cet écart est maximal lorsque la tangente à la courbe de Lorenz est parallèle à la droite \(\Delta\). Cela revient à résoudre l'équation \(L'(x) = 1\), qui est une équation du second degré. La solution de cette équation donne l'abscisse où l'inégalité "relative" est la plus forte.