Ce contrôle corrigé de mathématiques pour la Terminale (spécialité maths complémentaires) est entièrement dédié au chapitre sur la convexité des fonctions. D'une durée indicative de 1h30, ce sujet est parfait pour s'entraîner et valider sa compréhension des concepts clés liés à l'étude de fonctions, notamment la dérivée seconde, les points d'inflexion et l'interprétation graphique et contextuelle de la convexité.

Exercice 1 : Modélisation du temps d'attente aux urgences

Le premier exercice propose une mise en situation concrète autour du temps d'attente dans un service d'urgences, modélisé par la fonction \(W(x) = \frac{10}{1-x}\). Il permet de travailler sur :

• Le calcul d'images et leur interprétation dans un contexte donné.
• La dérivation d'une fonction quotient pour calculer la dérivée première \(W'(x)\) et étudier le sens de variation de la fonction.
• Le calcul de la dérivée seconde \(W''(x)\) pour étudier et prouver la convexité de la fonction sur son intervalle d'étude.
• La détermination de l'équation de la tangente à la courbe en un point donné (ici, en \(x=0\)).
• L'étude de la position relative de la courbe représentative de la fonction par rapport à sa tangente, un résultat directement lié à la convexité.
• L'interprétation de la convexité, qui illustre ici que chaque augmentation du taux d'occupation a un impact de plus en plus fort sur le temps d'attente.

Exercice 2 : Étude de la croissance d'un tournesol

Cet exercice aborde l'étude d'une fonction logistique, typique des modèles de croissance. Il est divisé en deux parties, l'une graphique et l'autre analytique, pour bien distinguer les approches.

• Partie A (Lecture graphique) : À partir de la courbe de la vitesse de croissance \(h'(t)\), il faut :
  • Lire graphiquement des valeurs clés comme la vitesse maximale.
  • Dresser le tableau de variation de \(h'(t)\) pour en déduire les intervalles où la fonction de hauteur \(h(t)\) est convexe ou concave.
  • Identifier le point d'inflexion de la courbe de \(h(t)\) comme étant l'instant où la vitesse de croissance est maximale.
• Partie B (Par le calcul) : Cette partie vise à confirmer les résultats graphiques en étudiant la fonction \(h(t) = \frac{250}{1+24e^{-0,1t}}\). Les compétences requises sont :
  • La résolution d'une équation avec des fonctions exponentielle et logarithme.
  • L'étude du signe de la dérivée seconde \(h''(t)\) (fournie) pour déterminer rigoureusement la convexité et la position du point d'inflexion.

Exercice 3 : Étude de convexité sur des fonctions de référence

Ce dernier exercice est un exercice d'application directe des méthodes du cours sur deux fonctions différentes :

• Une fonction polynomiale \(f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x\). Il faut calculer la dérivée seconde \(f''(x)\) et étudier son signe (celui d'un polynôme du second degré) pour trouver les intervalles de convexité/concavité et les points d'inflexion.
• Une fonction de type gaussienne \(g(x) = e^{-x^2}\). Cet exemple demande de maîtriser la dérivation des fonctions composées avec l'exponentielle, puis d'étudier le signe de la dérivée seconde pour en déduire la convexité et les coordonnées des points d'inflexion.

En résumé, ce sujet de maths complet sur la convexité est un excellent outil de révision, balayant les calculs de dérivées, l'étude de signes, l'interprétation graphique et l'application à des problèmes concrets.