Exercice 1
Exercice 2

Introduction

Alors, accrochez-vous parce que cet exercice est un peu complexe. On vous donne une fonction et on vous demande à quel point la tangente de cette fonction est soit horizontale, soit parallèle à une droite d'équations que l'on vous donne. Qui voit là, qui gagne \(x^2 + 3\)? Alors, il faut bien que vous compreniez que jusqu'à présent, on vous a demandé de calculer des nombres dérivés et des équations de tangente pour des points que vous connaissiez. Par exemple, j'aurais pu vous donner cette fonction et vous demander quel est le nombre dérivé pour \(x = 5\), donc calculer \(f'(5)\) et vous l'auriez calculé assez facilement.

Problématique

Le problème dans cet exercice, c'est que vous ne savez pas en quel point vous êtes censé calculer la tangente puisque c'est le point que vous cherchez. On vous demande pour quelle valeur de \(x\) la tangente est horizontale ou est-ce que la tangente est parallèle à une droite d'équations. Il va donc falloir que vous appreniez à calculer les nombres dérivés pour des points que vous ne connaissez pas encore.

Solution

Prenons la fonction \(f(x) = x^2 + 3\). Quand est-ce que la tangente est horizontale? Une tangente horizontale signifie que son coefficient directeur est égal à zéro. Or, qu'est-ce qu'on a vu concernant le lien entre la fonction et le coefficient directeur de la tangente? Le coefficient directeur de la tangente, c'est le nombre dérivé. Donc, si ce coefficient directeur est zéro, ça veut dire que \(f'(a)\) d'un certain nombre \(a\) qu'on ne connaît pas encore, est égal à zéro. Pour résoudre cela, on commence par calculer \(f'(a)\). En utilisant la formule de la dérivée, on obtient \(f'(a) = 2a\). Ensuite, on résout l'équation \(2a = 0\) pour trouver \(a = 0\). C'est donc en \(x = 0\) que la tangente est horizontale. Pour la deuxième partie de l'exercice, on vous demande quand est-ce que la tangente est parallèle à la droite d'équation \(y = -2x + 3\). Si la tangente est parallèle à cette droite, cela signifie qu'elle a le même coefficient directeur. Or, le coefficient directeur de cette droite est \(-2\). Donc, on résout l'équation \(2a = -2\) pour trouver \(a = -1\). C'est donc en \(x = -1\) que la tangente est parallèle à la droite donnée. Ces exemples illustrent un raisonnement complet. Si vous avez compris cela, vous avez tout compris.