Contrôle de Maths sur la Convexité - Terminale Maths Complémentaires
Ce sujet de contrôle pour les élèves de Terminale en spécialité Maths Complémentaires est entièrement dédié au chapitre sur la convexité des fonctions. Il s'agit d'un sujet complet d'une durée de 1h30, balayant l'ensemble des compétences clés liées à l'étude de la dérivée seconde, des points d'inflexion, et de leurs applications concrètes. Ce document est une excellente ressource pour s'entraîner, avec des exercices types qui pourraient apparaître au baccalauréat. Retrouvez une analyse détaillée de ce sujet de maths, exercice par exercice.
Exercice 1 : Dérivée seconde et convexité
Cet exercice d'introduction permet de vérifier la maîtrise des outils de base de l'étude de la convexité.
- Question 1 : On étudie une fonction polynôme du troisième degré
f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1. Il est demandé de calculer la dérivée première f'(x) puis la dérivée seconde f''(x). L'étude du signe de f''(x) permet ensuite de déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est convexe ou concave. Enfin, on identifie le point d'inflexion de la courbe, c'est-à-dire le point où la convexité change. - Question 2 : Le même raisonnement est appliqué à une fonction impliquant une exponentielle :
g(x) = (x + 1)e^x. L'énoncé guide l'élève en donnant l'expression de la dérivée seconde, g''(x) = (x + 3)e^x. L'objectif est de déduire l'intervalle de convexité et de trouver les coordonnées exactes du point d'inflexion.
Exercice 2 : Vitesse d'une réaction enzymatique
Ce deuxième exercice est une mise en situation concrète dans le domaine de la biochimie. La vitesse d'une réaction est modélisée par une fonction rationnelle v(s) = 10s / (2 + s), où s est la concentration d'un substrat.
- Les premières questions sont calculatoires et visent à se familiariser avec la fonction.
- La question 2 demande de calculer la dérivée
v'(s) pour étudier le sens de variation de la vitesse de réaction. - La question 3 introduit la dérivée seconde
v''(s) pour étudier la convexité. L'interprétation est ici cruciale : il faut expliquer comment le gain de vitesse évolue lorsque la concentration augmente. Une fonction concave indique que le gain de vitesse ralentit (rendements décroissants). - La question 4 est une application classique :
- Détermination de l'équation de la tangente
T à la courbe au point d'abscisse 0. - Étude de la position relative de la courbe par rapport à sa tangente en étudiant le signe de la différence
v(s) - 5s. Le lien avec la convexité (ou concavité) est souligné. - Enfin, une question sur la limite de la fonction permet de déterminer si la vitesse peut atteindre une certaine valeur.
Exercice 3 : Engrais et rendement d'une parcelle de blé
Cet exercice, le plus long du sujet, est un problème d'optimisation dans un contexte agronomique. Le rendement d'une parcelle est modélisé par la fonction P(x) = -x³ + 3x² + 9x + 40 sur l'intervalle [0; 4].
- Partie A - Le rendement : Cette partie est une étude de fonction classique. On calcule la dérivée
P'(x), on dresse le tableau de variations de P pour déterminer la dose d'engrais qui offre un rendement maximal. - Partie B - Le rendement marginal : On s'intéresse ici à la fonction dérivée
P'(x), qui représente le rendement marginal. La question clé est de trouver quand ce rendement marginal est maximal. Pour cela, on calcule la dérivée seconde P''(x) et on étudie la convexité de P. Le maximum de P'(x) est atteint au point d'inflexion de P, là où l'efficacité de l'engrais est la plus forte avant de commencer à diminuer.
Exercice 4 : Une courbe et ses tangentes
Cet exercice combine lecture graphique et calculs pour une analyse complète d'une fonction et de ses tangentes.
- Partie A - Lectures graphiques : À partir de la représentation graphique d'une fonction
f et de deux de ses tangentes, il faut :- Lire des images et des nombres dérivés (coefficients directeurs des tangentes).
- Identifier les intervalles de convexité/concavité et reconnaître un point d'inflexion.
- Conjecturer la position relative de la courbe par rapport à ses tangentes.
- Partie B - Par le calcul : On donne l'expression de la fonction,
f(x) = 0,5x³ - 1,5x² + 3. Les calculs permettent de confirmer les conjectures de la partie A. On doit notamment recalculer les dérivées, vérifier l'équation d'une tangente et étudier le signe de f(x) - y_T pour prouver la position relative. Cet exercice illustre parfaitement le lien entre la convexité et la position de la courbe par rapport à ses tangentes.
Exercice 5 : Question ouverte
Une question de synthèse rapide qui teste la compréhension profonde du concept de point d'inflexion. Il faut argumenter sur l'existence ou non de points d'inflexion pour des fonctions polynômes du second et du troisième degré en se basant sur leur dérivée seconde.
Ce sujet de maths corrigé sur la convexité est un excellent outil pour préparer son bac de maths complémentaires. Il aborde toutes les facettes du chapitre : calcul de dérivées, étude de signe, tableaux de variation, points d'inflexion, tangentes, et applications concrètes.