6. Relations fonctionnelles et logarithme

Introduction

Allez les amis, on est parti pour étudier les relations fonctionnelles avec le logarithme népérien, noté \( \ln \), c'est-à-dire voir très simplement comment transformer une expression absurdement compliquée en quelque chose de tout mignon, de tout petit. On se fait ça tout de suite.

Les relations fonctionnelles

Vous les connaissez d'exponentielle, je vous les rappelle ici : - \( \exp(a + b) = \exp(a) \times \exp(b) \) - \( \exp(a - b) = \frac{\exp(a)}{\exp(b)} \) C'était des relations fonctionnelles. On a une gamme de relations qui s'applique aussi avec \( \ln \), c'est-à-dire que grâce à elle, on va pouvoir transformer des expressions. La première chose qu'on peut transformer avec \( \ln \) c'est les produits en somme. Autrement dit, quand vous avez \( \ln(a \times b) \), vous pouvez dire que c'est \( \ln(a) + \ln(b) \). Donc ici, je vais avoir \( \ln(36e) \) qui fera \( \ln(36) + \ln(e) \) parce que \( 36 \times e \) ça devient \( 36 + e \). C'est ça la beauté de \( \ln \), de transformer des produits en somme. Ici, \( \ln(24) \), vu que \( 24 = 6 \times 4 \), je peux dire que c'est \( \ln(6) + \ln(4) \). Vous voyez, là j'avais bien \( 24 = 6 \times 4 \). \( \ln(4 \sqrt{6}) \) ça devient \( -\ln(24) + \ln(\sqrt{6}) \). Attention à la faute de signe, là vous avez un moins qui concerne tout ça donc quand vous transformez votre \( \ln(a \times b) \) en \( \ln(a) + \ln(b) \), le moins il va toucher lui mais il va aussi toucher lui donc en fait ça va faire \( -\ln(24) - \ln(\sqrt{6}) \). Qu'on ne se plante pas. Et enfin, \( \ln(a) \) on ne le bouge pas. Deuxième chose qu'on peut faire avec \( \ln \), c'est que quand vous avez \( \ln(\frac{a}{b}) \), ça devient \( \ln(a) - \ln(b) \). Donc mon \( \ln(\frac{1}{e}) \) qui est ici, je vais l'écrire \( \ln(1) - \ln(e) \).

Les puissances et le logarithme népérien

Troisième chose qu'on peut faire avec \( \ln \), c'est que quand on a un carré ou une puissance à l'intérieur, on a le droit de la sortir. \( \ln(a^b) = b \ln(a) \). Donc ici, \( 36 \) qui a un carré parfait, ça me fait \( \ln(6^2) \) et \( \ln(6^2) \) ça me fait \( 2 \ln(6) + \ln(e) + \ln(6) + \ln(4) - \ln(4) \). Petite notation intéressante, autant \( 36 = 6^2 \) et du coup quand je le transforme avec \( \ln \), ça me fait \( 2 \ln(6) \) parce que j'ai le droit de prendre mon \( 2 \) et le mettre dedans, autant \( \sqrt{6} \) par notation, ça peut s'écrire \( 6^{1/2} \). Vous voyez, c'est l'inverse de \( 6^2 \), la racine. \( 6^2 = 6 \), \( 6^{1/2} = \sqrt{6} \). Donc vu que \( \ln(\sqrt{6}) = \ln(6^{1/2}) \), j'ai le droit de dire que c'est \( \frac{1}{2} \ln(6) \). Et enfin, \( + \ln(a) - \ln(2) \). Ensuite, vous savez que \( \ln(1) = 0 \) parce que ça fait déjà 10 fois qu'on le fait. Vous connaissez parfaitement l'allure de \( \ln \), elle part comme ça, en \( a \) elle vaut \( 0 \) et ensuite elle monte doucement vers plus l'infini. Donc \( \ln(1) = 0 \), ça ça saute. Ensuite, \( \ln(e) \), moi je vous rappelle que \( \ln(\exp(x)) = x \). Donc quand j'ai \( \ln(e) \), c'est sous-entendu \( e^1 \) et si j'ai \( e^1 \) et \( \ln(e) \), j'ai donc le \( \ln \) et le \( e \) qui s'annulent et il me reste \( 1 \). Donc là j'ai un \( 1 \), là j'ai un \( 1 \), ils vont se supprimer. Donc ça et ça, ça saute. Du coup, finalement, il me reste \( 2 \ln(6) + \ln(6) \), donc \( 3 \ln(6) - \frac{1}{2} \ln(6) \). Donc il me reste \( 3 \ln(6) - \frac{1}{2} \ln(6) \) et ça, vous factorisez par \( \ln(6) \). Trois pains au chocolat moins un demi pain au chocolat, ça fait deux et demi pain au chocolat. Donc ça me fait \( \frac{5}{2} \ln(6) \). Et on a transformé un truc absolument horrible qui était tout ça en un petit bout tout mignon \( \frac{5}{2} \ln(6) \) en utilisant les relations fonctionnelles. Les relations fonctionnelles avec \( \ln \), c'est vital. On vous a mis des exercices en dessous, entraînez-vous parce que ça va vous permettre de transformer des expressions de fonctions compliquées, par exemple dérivée, en des toutes petites fonctions beaucoup plus simple à dériver. À vous de jouer, vous êtes des champions.