5. Calculer des antécédents

Introduction

Allons-y avec une nouvelle compétence. Auparavant, nous avons fait des calculs d'image avec des expressions algébriques. Ici, on nous donne aussi une expression algébrique, mais cette fois-ci, on demande de calculer l'antécédent de -2 par la fonction \(f\). Ici, \(f(x) = 3x - 5\). On se rappelle toujours le truc que je vais vous laisser tout le temps là, c'est qu'est-ce que l'image et qu'est-ce que l'antécédent. Donc ça, on s'est fait, c'est les premières compétences qu'il faut vraiment maîtriser pour tout le reste. Vous voyez que c'est toujours utile.

Comprendre l'antécédent

Les antécédents, si on a la représentation graphique, on part toujours des abscisses, donc des \(x\). Donc c'est vrai, ça, l'antécédent, dans votre fonction, on la passe dans la fonction. Donc ça, c'est une représentation, c'est la courbe représentative de \(f\), si vous voulez en termes de vocabulaire. Et ça va nous donner, si on va perpendiculairement comme ça sur l'axe des \(y\), donc l'axe des abscisses, nous donner l'image. Donc ça va être ici, dans mon cas, c'était \(f(2a) = b\). Donc \(b\) c'est mon image et \(f(a)\) aussi par définition c'est l'image, c'est la même chose, c'est juste que dans \(f(a)\) on retrouve l'antécédent.

Calculer l'antécédent

Alors maintenant, on se pose la question, si j'écris ça par exemple, qu'est-ce qu'on me donne ? Est-ce qu'on me donne l'antécédent ou on me donne l'image ? Si je dois chercher l'antécédent, c'est forcément quand je cherche ça, donc c'est ça, je ne sais pas ce que c'est et on donne quoi ? Donc c'est l'antécédent de -2 par la fonction \(f\), donc l'antécédent de quoi de \(y\). Ok, donc c'est l'image qu'on m'a donné ici, le -2 c'est l'image. Donc ici, c'est -2. Alors, qu'est-ce qu'on a le droit d'écrire à partir de ce qu'on vient de décoder ? On se rend compte qu'on cherche ici finalement, c'est \(f(x)\), donc le \(x\) à l'intérieur pour \(f(x) = -2\). Mais là, je suis un peu embêté, donc comment j'extrais mon \(x\) à partir de -2 ici ? Donc c'est un peu perdu, mais qu'est-ce qu'on nous a donné ? \(f(x) = 3x - 5\), on nous a donné l'expression de \(f(x)\). Donc ici, j'ai juste à remplacer, finalement je peux dire que c'est équivalent à \(3x - 5 = -2\). Et là, qu'est-ce qu'on a ? Ça nous fait pas plaisir, ça, ça nous a manqué, petite résolution d'équation, équation avec une inconnue \(x\) de premier degré, très facile à faire. Donc ça, normalement à ce niveau de l'année, vous savez très bien maîtriser ça. Je passe mon -5 de l'autre côté, ça me fait +5, donc j'ai \(-2 + 5\). Là, je divise tout par 3, donc j'ai \(3/3\), j'ai plus que \(x\), \(-2 + 5\) ça me fait 3 et \(3/3\), oh c'est joli ça, \(3/3\) ça me fait quoi, ça me fait tout simplement 1. Donc là, rédigez un petit peu mieux, là c'est juste un peu manqué de place sur la fin, donc mettez bien \(x\), on va mettre là, donc l'antécédent de -2 par la fonction \(f\) c'est \(x = 1\). Ok, donc mettez le ça à la fin, vous pouvez faire une phrase avec ce que je viens de dire, l'antécédent de -2 par la fonction \(f\) est 1. Et voilà, vous avez bien rédigé, vous avez tout dit, vous avez fait bien le calcul, vous n'êtes pas trompé, vous vérifiez bien que vous êtes parti de l'image pour aller à l'antécédent. Et dans les vidéos d'avant, c'était l'antécédent par image, ça toujours clair, faites les exercices, entraînez-vous et vous voyez que c'est en fait, c'est compétences de résolution d'équation, c'est important pour les fonctions. Donc là, c'est du premier degré, on va voir dans les prochaines vidéos de cas avec du second degré, mais qui est résolvable pour un petit troisième comme vous. Et je vous dis, faites des exercices, à vous de jouer, c'est faites les exercices les gars.