Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4

Introduction

Allez les amis, on est parti pour une compétence uniquement composée de plaisir à prendre à dériver avec logarithme. Vous avez besoin de deux formules : 1. La dérivée de \(\ln(x)\) est \(\frac{1}{x}\). C'est plus compliqué que l'exponentielle mais ça reste quand même facile à retenir. 2. La dérivée de \(\ln(u(x))\), c'est-à-dire \(\ln\) d'une fonction, est \(\frac{u'}{x}\).

Exemple de dérivation

Prenons l'exemple de la fonction \(f(x) = x \ln(x) - x\). La dérivée de \(x\) est 1 et la dérivée de \(\ln(x)\) est \(\frac{1}{x}\). Cependant, la dérivée de \(x \ln(x)\) n'est pas simplement \(1 \times \frac{1}{x}\). Ce qu'on a ici, c'est une multiplication de deux fonctions, \(u(x) = x\) et \(v(x) = \ln(x)\). La dérivée de \(u(x)v(x)\) est \(u'(x)v(x) - u(x)v'(x)\). Donc, pour trouver \(f'(x)\), on va appliquer cette formule.

Calcul de la dérivée

On a donc \(f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x) - 1\). En remplaçant \(u'(x)\) par 1, \(v(x)\) par \(\ln(x)\), \(u(x)\) par \(x\) et \(v'(x)\) par \(\frac{1}{x}\), on obtient \(f'(x) = 1 \times \ln(x) - x \times \frac{1}{x} - 1\). Cela simplifie à \(\ln(x) + 1 - 1\), soit simplement \(\ln(x)\).

Interprétation du résultat

On voit donc que la dérivée de \(x \ln(x) - x\) est \(\ln(x)\). Cela signifie que la fonction \(x \ln(x) - x\) est une primitive de \(\ln(x)\), c'est-à-dire une fonction qui, lorsqu'on la dérive, donne \(\ln(x)\). C'est un concept important qui sera développé dans le prochain chapitre.

Autre exemple de dérivation

Prenons maintenant la fonction \(u(x) = x^2 - 2x + 1\). Sa dérivée est \(u'(x) = 2x - 2\). Si on dérive \(\ln(u(x))\), on utilise la formule \(\frac{u'(x)}{u(x)}\), ce qui donne \(\frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 1}\).

Conclusion

Voilà, vous avez maintenant une bonne base pour dériver des fonctions avec des logarithmes. N'hésitez pas à vous entraîner avec des exercices pour bien maîtriser ces concepts.