Contrôle de Mathématiques Première STI2D : Polynômes du Second Degré

Ce document présente un sujet de contrôle de mathématiques destiné aux élèves de Première STI2D. D'une durée d'une heure et sans calculatrice autorisée, cette évaluation porte sur le chapitre des polynômes du second degré et inclut une série d'automatismes fondamentaux. Ce type de sujet est idéal pour s'entraîner à maîtriser les concepts clés des fonctions trinômes, de la résolution d'équations et d'inéquations, à l'interprétation graphique des paraboles. Retrouvez une analyse détaillée de chaque exercice pour vous préparer efficacement. Ce contrôle, qui porte sur le tronc commun de mathématiques, convient à toutes les séries technologiques : STI2D, STL, STMG, ST2S, STHR, STD2A et S2TMD.

Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première STI2D, polynômes du second degré, fonction trinôme, étude de signe, racines d'un polynôme, automatismes, identités remarquables.

Exercice 1 : Automatismes (QCM)

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) de 5 questions visant à évaluer la maîtrise rapide de notions de base. C'est un excellent moyen de vérifier les acquis fondamentaux sans nécessiter de justification complexe.

• Question 1 : Il s'agit de développer l'expression \((x+3)^2\). C'est une application directe de la première identité remarquable \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). La bonne réponse est donc \(x^2 + 6x + 9\).
• Question 2 : Cette question demande de calculer la valeur de l'expression \((x-1)(x-6)\) pour \(x=4\). Il suffit de substituer \(x\) par 4 dans l'expression : \((4-1)(4-6) = 3 \times (-2) = -6\).
• Question 3 : On cherche le point d'intersection de la courbe de la fonction \(f(x) = x^2 - 5\) avec l'axe des ordonnées. Ce point a pour abscisse \(x=0\). On calcule donc l'image de 0, soit \(f(0) = 0^2 - 5 = -5\).
• Question 4 : La question teste la définition d'un polynôme du second degré. Il faut reconnaître la forme générale \(ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\). Parmi les propositions, seule une correspond à cette définition.
• Question 5 : Il faut trouver l'axe de symétrie de la parabole d'équation \(y = (x-1)(x-9)\). L'équation est sous forme factorisée, ce qui donne directement les racines \(x_1=1\) et \(x_2=9\). L'abscisse de l'axe de symétrie est la moyenne des racines : \(x = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{1+9}{2} = 5\).

Exercice 2 : Racines et signe

Cet exercice se concentre sur l'analyse complète d'une fonction polynôme du second degré donnée sous sa forme factorisée : \(g(x) = 3(x+2)(x-4)\).

• Question 1 : Un calcul simple d'images est demandé pour \(g(0)\) et \(g(1)\). \(g(0) = 3(0+2)(0-4) = 3 \times 2 \times (-4) = -24\) et \(g(1) = 3(1+2)(1-4) = 3 \times 3 \times (-3) = -27\).
• Question 2 : La détermination des racines de \(g\) est immédiate grâce à la forme factorisée. Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, donc \(g(x)=0\) si \(x+2=0\) ou \(x-4=0\). Les racines sont \(x=-2\) et \(x=4\).
• Question 3 : La compétence centrale ici est de dresser le tableau de signes du trinôme. Le polynôme est du signe de 'a' (ici \(a=3 > 0\), donc positif) à l'extérieur des racines et du signe de '-a' (négatif) entre les racines.
• Question 4 : La résolution de l'inéquation \(g(x) \le 0\) découle directement de la lecture du tableau de signes. La solution est l'intervalle \([-2\,;\,4]\).
• Question 5 : Comme dans l'exercice 1, l'axe de symétrie est trouvé en calculant la moyenne des racines : \(x = \frac{-2+4}{2} = 1\).

Exercice 3 : Reconnaître une courbe

Cet exercice est une application graphique des propriétés des fonctions polynômes du second degré. Il faut associer trois fonctions, \(u(x) = x^2-4\), \(v(x) = -x^2+4\) et \(w(x) = 2x^2\), à leurs courbes représentatives.

• Question 1 : L'association se fait en analysant deux éléments clés : le signe du coefficient \(a\) (orientation de la parabole) et l'ordonnée à l'origine \(f(0)\). Pour \(u\) et \(w\), \(a>0\) donc la parabole est tournée vers le haut. Pour \(v\), \(a<0\), elle est tournée vers le bas. De plus, \(u(0)=-4\), \(v(0)=4\) et \(w(0)=0\), ce qui permet d'identifier chaque courbe.
• Question 2 et 3 : On demande de trouver les racines des fonctions. Pour \(u(x)=0\), on résout \(x^2=4\), ce qui donne \(x=2\) et \(x=-2\). Pour \(v(x)=0\), on a les mêmes racines. Pour \(w(x)=0\), on a \(2x^2=0\), ce qui donne une racine double \(x=0\).
• Question 4 : Les trois fonctions sont de la forme \(ax^2+c\), leur sommet est sur l'axe des ordonnées. L'axe de symétrie commun est donc la droite d'équation \(x=0\).
• Question 5 : Il s'agit de résoudre l'équation \(u(x) = 5\), soit \(x^2-4=5\). Cela mène à \(x^2=9\), dont les solutions sont \(x=3\) et \(x=-3\).

Exercice 4 : Le potager du lycée

Le dernier exercice est un problème d'optimisation : avec 24 mètres de grillage, on clôture un potager rectangulaire adossé à un mur. En notant \(x\) la longueur des deux côtés perpendiculaires au mur, avec \(0 \le x \le 12\), l'aire du potager est un polynôme du second degré.

• Question 1 : Le côté parallèle au mur mesure \(24 - 2x\), d'où l'aire \(A(x) = x(24-2x)\).
• Question 2 : On calcule \(A(2) = A(10) = 40\). Deux valeurs égales sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole, d'abscisse \(x = \frac{2+10}{2} = 6\). L'aire maximale vaut \(A(6) = 72\) m², pour un potager de 6 m sur 12 m.
• Question 3 : On vérifie que \(A(4) = 64\), puis que \(A(x) - 64 = -2(x-4)(x-8)\). Le tableau de signes de ce produit montre que l'aire est d'au moins 64 m² pour \(x\) compris dans l'intervalle \([4\,;\,8]\).