Analyse du sujet de mathématiques - Première STI2D

Ce devoir commun pour les élèves de Première STI2D est une évaluation complète portant sur plusieurs chapitres clés du programme de mathématiques : les automatismes, les statistiques descriptives à deux variables, les probabilités conditionnelles et les variables aléatoires. Le sujet est structuré en une partie QCM (Automatismes) et une partie B composée de trois exercices d'application. La calculatrice est interdite, ce qui met l'accent sur les compétences de calcul mental et la maîtrise des formules fondamentales.

Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas à travers chaque question, en explicitant les raisonnements et les calculs nécessaires. C'est un excellent support pour réviser et consolider vos connaissances. Mots clés: Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première STI2D, Probabilités, Statistiques, Variables aléatoires.

Partie A : Automatismes (QCM)

Cette première partie vise à évaluer des compétences de base et des réflexes mathématiques essentiels. Chaque question propose quatre réponses, une seule étant correcte.

• Question 1 : Calcul d'une fréquence. Sur 250 personnes, 60 sont abonnées. La fréquence est le rapport de l'effectif concerné sur l'effectif total. On calcule donc \(f = \frac{60}{250} = \frac{6}{25} = \frac{24}{100} = 24\%\).
• Question 2 : Calcul d'une probabilité simple. Dans une urne de 40 jetons avec 6 rouges, la probabilité de tirer un jeton rouge est \(P(R) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas total}} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20} = 0,15\).
• Question 3 : Interprétation d'une probabilité conditionnelle. La phrase "parmi les internes, 40% font du sport" signifie que la probabilité de faire du sport est calculée sur la sous-population des internes. Il s'agit donc d'une fréquence conditionnelle.
• Question 4 : Calcul de l'espérance d'une variable aléatoire. Une variable aléatoire prenant les valeurs 0 et 10 avec les probabilités respectives 0,8 et 0,2 a pour espérance \(E(X) = 0 \times 0,8 + 10 \times 0,2 = 0 + 2 = 2\).
• Question 5 : Linéarité de l'espérance. Si \(E(Y) = 4\), alors l'espérance de la variable aléatoire \(3Y+2\) se calcule avec la formule \(E(aY+b) = aE(Y)+b\). On a donc \(E(3Y+2) = 3E(Y)+2 = 3 \times 4 + 2 = 14\).
• Question 6 : Application d'un pourcentage. Diminuer une quantité de 40% revient à en conserver 60%, donc à la multiplier par le coefficient multiplicateur \(1 - \frac{40}{100} = 1 - 0,4 = 0,6\).

Partie B : Exercice 1 – Les abonnés d'un réseau de bus

Cet exercice de statistiques à deux variables s'appuie sur un tableau croisé d'effectifs pour analyser la répartition des usagers d'un bus selon leur âge et leur statut d'abonné.

• Question 1 : On demande de compléter un tableau à double entrée à partir des données fournies : 400 usagers au total, 160 de moins de 25 ans, 120 abonnés de moins de 25 ans, et 120 abonnés de 25 ans et plus. Le reste des cases se déduit par soustraction.
• Question 2 : Le calcul de la fréquence marginale des abonnés consiste à diviser le nombre total d'abonnés (240) par le nombre total d'usagers (400), soit \(\frac{240}{400} = 60\%\).
• Question 3 : Il s'agit ici de calculer des fréquences conditionnelles. La fréquence des abonnés parmi les moins de 25 ans est \(\frac{120}{160} = 75\%\). La fréquence des abonnés parmi les 25 ans et plus est \(\frac{120}{240} = 50\%\).
• Question 4 : La comparaison des deux fréquences (75% vs 50%) suggère que l'âge est un facteur qui influence le fait de prendre un abonnement.
• Question 5 : On calcule une autre fréquence conditionnelle : celle des moins de 25 ans parmi les abonnés, soit \(\frac{120}{240} = 50\%\). Ce résultat est différent de la fréquence des abonnés parmi les moins de 25 ans (75%), illustrant la différence entre \(P(J|A)\) et \(P(A|J)\).

Partie B : Exercice 2 – Le même réseau, en probabilités

Cet exercice prolonge le précédent en formalisant l'analyse avec le langage des probabilités conditionnelles.

• Question 1 : On passe des effectifs aux probabilités. Avec les événements \(J\) : "l'usager a moins de 25 ans" et \(A\) : "l'usager est abonné", on calcule \(P(J) = \frac{160}{400} = 0,4\), \(P(A) = \frac{240}{400} = 0,6\) et \(P(J \cap A) = \frac{120}{400} = 0,3\).
• Question 2 : Le calcul d'une probabilité d'événement contraire.
• Question 3 : Le calcul de probabilités conditionnelles \(P_J(A) = \frac{P(J \cap A)}{P(J)} = \frac{0,3}{0,4} = 0,75\) et \(P_A(J) = \frac{P(J \cap A)}{P(A)} = \frac{0,3}{0,6} = 0,5\).
• Question 4 : On compare \(P_J(A) = 0,75\) avec \(P(A) = 0,6\). Comme les probabilités sont différentes, les événements \(J\) et \(A\) ne sont pas indépendants. Le fait d'avoir moins de 25 ans est bien lié à la possession d'un abonnement.

Partie B : Exercice 3 – Livraisons

Le dernier exercice aborde les variables aléatoires dans le contexte d'une situation modélisable par une loi binomiale.

• Question 1 : La situation est la répétition de 3 épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques (chaque colis arrive à l'heure ou non). On peut la représenter avec un arbre de probabilités à 3 niveaux.
• Question 2 & 3 : On définit \(X\) la variable aléatoire comptant le nombre de colis arrivés à l'heure. \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(3; 0,9)\). On calcule les probabilités \(P(X=3) = 0,9^3\), \(P(X=0) = 0,1^3\), \(P(X=2) = \binom{3}{2} \times 0,9^2 \times 0,1^1\), et on en déduit \(P(X=1)\) car la somme des probabilités vaut 1.
• Question 4 : On dresse le tableau de la loi de probabilité de \(X\) et on calcule son espérance \(E(X) = n \times p = 3 \times 0,9 = 2,7\). Cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de commandes de 3 colis, 2,7 colis arriveront à l'heure.
• Question 5 : On introduit une nouvelle variable aléatoire \(G = 7X - 15\) représentant le gain du livreur. Pour calculer son espérance, on utilise la propriété de linéarité : \(E(G) = E(7X-15) = 7E(X) - 15 = 7 \times 2,7 - 15 = 18,9 - 15 = 3,9\). En moyenne, le livreur peut espérer gagner 3,90 € par commande de trois colis.