Analyse du Contrôle de Mathématiques : Statistiques et Automatismes (Première STI2D)

Ce sujet de contrôle, destiné aux élèves de Première STI2D, porte sur les chapitres des statistiques à deux variables et des automatismes. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, il évalue des compétences fondamentales à travers trois exercices variés.

Exercice 1 : Automatismes (QCM)

Cet exercice d'introduction vise à évaluer des compétences de base essentielles en mathématiques. Il s'agit d'un questionnaire à choix multiples (QCM) couvrant plusieurs domaines :

• Analyse de fonctions affines : La première question demande de calculer le coefficient directeur d'une droite passant par deux points A(2; 5) et B(6; 13). Cela se fait en utilisant la formule \(a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\). La quatrième question teste la compétence inverse : déterminer l'équation réduite d'une droite, \(y = ax+b\), par lecture graphique de son ordonnée à l'origine et de sa pente.
• Statistiques descriptives : La deuxième question est un calcul simple de la moyenne d'une série de valeurs (12; 15; 9; 14; 10).
• Pourcentages : La troisième question est un problème classique sur les évolutions successives, demandant de trouver le taux de la baisse qui compense une hausse de 25%. Il s'agit de maîtriser le concept de coefficient multiplicateur et de taux d'évolution réciproque.
• Résolution d'équation : La dernière question consiste à utiliser un modèle linéaire donné (\(y = 0,5x + 3\)) pour trouver la valeur de \(x\) correspondant à une valeur de \(y\) donnée. C'est une application directe de la résolution d'une équation du premier degré.

Exercice 2 : Banc d'essai d'un moteur

Cet exercice original aborde les statistiques à deux variables sous l'angle de l'algorithmique. Les données, issues de mesures physiques sur un moteur (tension d'alimentation \(U\) et vitesse de rotation \(N\)), sont stockées dans des listes Python. L'objectif est d'analyser un programme qui traite ces données.

• Interprétation de code : La première partie de l'exercice consiste à comprendre le fonctionnement d'une fonction Python `moyenne(L)` qui calcule la moyenne des éléments d'une liste. Il faut identifier le rôle de chaque variable et la valeur retournée.
• Lien Algorithmique-Statistiques : La question 2 fait le lien entre le code et le concept statistique du point moyen \(G(\bar{U}, \bar{N})\), dont les coordonnées sont les moyennes respectives des deux séries de données.
• Manipulation de données : Les questions 3 et 4 portent sur la compréhension d'une instruction Python plus avancée (liste en compréhension) pour filtrer les données, en ne gardant que les valeurs supérieures ou inférieures à la moyenne.
• Programmation : La dernière question demande de compléter une fonction pour qu'elle retourne les coordonnées du point moyen, mobilisant ainsi une compréhension active de l'algorithme.

Exercice 3 : Caractéristique d'un conducteur ohmique

Cet exercice constitue le cœur du sujet. Il s'agit d'une étude de cas complète sur l'ajustement affine d'un nuage de points par la méthode de Mayer. Les données proviennent d'une expérience de physique-chimie sur un conducteur ohmique.

• Représentation et calculs préliminaires : L'élève doit d'abord représenter graphiquement le nuage de points \((I, U)\) et calculer les coordonnées du point moyen global \(G\).
• Mise en œuvre de la méthode de Mayer : C'est la compétence centrale testée ici. Le processus est guidé : séparer le nuage de points en deux groupes, calculer les points moyens de chaque groupe (\(G_1\) et \(G_2\)), puis déterminer l'équation de la droite d'ajustement \((G_1G_2)\).
• Modélisation et interprétation : La question 5 demande de faire le lien entre le modèle mathématique (la droite d'ajustement) et la loi physique sous-jacente (loi d'Ohm \(U=R \times I\)). Le coefficient directeur donne une estimation de la résistance \(R\).
• Utilisation du modèle pour la prédiction : Les dernières questions portent sur l'utilisation de l'équation de la droite de Mayer pour faire des prédictions par interpolation et extrapolation, et de porter un regard critique sur la fiabilité du modèle.

Ce contrôle corrigé pour Première STI2D est un excellent entraînement pour maîtriser l'ajustement affine, la méthode de Mayer et l'interprétation d'algorithmes simples en contexte statistique.