Analyse du sujet de mathématiques : Primitives en Première STI2D

Ce document est un contrôle corrigé de mathématiques destiné aux élèves de Première STI2D, centré sur le chapitre des primitives. Le sujet, d'une durée de 1h30, est composé de trois exercices balayant les aspects théoriques, les applications concrètes et les méthodes numériques liées aux primitives. Il constitue une excellente préparation pour les évaluations et le baccalauréat.

Exercice 1 : Vrai ou Faux sur les concepts fondamentaux

Cet exercice teste la maîtrise des définitions et propriétés essentielles des primitives à travers cinq affirmations à justifier. Les compétences évaluées sont :

• Vérifier qu'une fonction est une primitive : La première affirmation demande de vérifier si `F(x) = (x^2 + 1)^2` est une primitive de `f(x) = 4x^3 + 4x`. Cela nécessite de calculer la dérivée de `F(x)`, en utilisant notamment la formule de dérivation d'une fonction composée de type `u^n`, pour la comparer à `f(x)`.
• Unicité des primitives : L'affirmation 2 interroge sur le nombre de primitives d'une fonction, rappelant que si `F` est une primitive, alors toutes les fonctions de la forme `F+C` le sont aussi.
• Primitives des fonctions trigonométriques : La troisième question évalue la connaissance des primitives usuelles, en particulier celle de `\sin(2t)`.
• Propriété des primitives et constante d'intégration : L'affirmation 4 explore la conséquence d'avoir deux primitives `F` et `G` qui coïncident en un point. Si `F(1) = G(1)`, alors `F` et `G` sont égales sur tout leur domaine de définition.
• Détermination d'une primitive unique : La dernière affirmation consiste à trouver LA primitive d'une fonction `t \to 3t^2 – 2` qui vérifie une condition initiale (elle prend la valeur 2 en `t = 1`), ce qui revient à calculer la constante d'intégration `C`.

Exercice 2 : Application à la production d'une installation photovoltaïque

Cet exercice contextualise la notion de primitive dans un problème de physique. La puissance électrique `P(t)` est modélisée par une fonction sinus, et l'énergie `E(t)` est sa primitive qui s'annule à l'origine. Les questions amènent à :

• Déterminer une primitive de la fonction puissance `P(t) = 2,4 \sin(\frac{\pi}{12}t)`. Cela mobilise la compétence sur les primitives des fonctions cosinus et sinus.
• En déduire l'expression de l'énergie `E(t)` en utilisant la condition initiale `E(0) = 0` pour trouver la constante.
• Calculer l'énergie produite sur des intervalles de temps, ce qui revient à calculer `E(b) - E(a)`. Cette opération est l'application directe du lien entre primitive et calcul d'une grandeur totale, conceptuellement équivalent au calcul d'intégrale pour calculer une aire sous la courbe de puissance.
• Résoudre un problème concret à l'aide de la calculatrice, en déterminant à quel moment une certaine quantité d'énergie est dépassée.

Exercice 3 : Méthode d'Euler et programme Python

Le dernier exercice introduit une méthode numérique pour approcher la valeur d'une primitive non calculable avec les outils du lycée. Il s'agit de la résolution de l'équation différentielle `y' = f(t)` avec `f(t) = \frac{1}{1+t^2}` et `y(0)=0`.

• Introduction aux équations différentielles : L'exercice pose le problème sous la forme `y' = f(t), y(0)=0`, qui est l'exemple le plus simple d'équation différentielle.
• Méthode d'Euler : La partie A explique et fait appliquer pas à pas la formule d'approximation `F(t+h) \approx F(t) + h \times f(t)`, qui est le cœur de la méthode d'Euler.
• Algorithmique : La partie B propose de compléter un programme Python qui implémente cette méthode, liant ainsi l'analyse mathématique à la programmation.
• Analyse de la convergence : Les questions finales amènent à observer que la précision de l'approximation augmente lorsque le pas `h` diminue, une notion fondamentale en analyse numérique.