Contrôle Corrigé sur les Primitives : Sujet pour Première STI2D

Découvrez un sujet de contrôle complet sur le chapitre des primitives, spécialement conçu pour les élèves de Première STI2D. Ce devoir d'une heure, sans calculatrice, est un excellent outil de révision pour maîtriser les concepts clés de l'intégration et ses applications. Ce document propose une analyse détaillée de chaque exercice, mettant en lumière les compétences à mobiliser. Mots clés: Contrôle corrigé, Sujet de maths, primitives, première STI2D, étude de fonctions, méthode d'Euler. Idéal pour s'entraîner et aborder sereinement les évaluations.

Exercice 1 : Primitives de fonctions trigonométriques (6 points)

Cet exercice fondamental vise à évaluer la maîtrise des techniques de base pour la recherche de primitives, en se concentrant sur les fonctions trigonométriques et polynomiales.

• Question 1 : Il est demandé de déterminer une primitive pour trois fonctions distinctes :
  • a) \( f_1(t) = 6 \sin(3t) \): Cette question teste la connaissance de la primitive de \( \sin(at+b) \), qui est \( -\frac{1}{a}\cos(at+b) \).
  • b) \( f_2(t) = 3 \cos(2t + \frac{\pi}{4}) \): Similaire à la précédente, elle requiert de connaître la primitive de \( \cos(at+b) \), soit \( \frac{1}{a}\sin(at+b) \).
  • c) \( f_3(t) = t^2 - 2 \sin(4t) \): Ici, il faut appliquer la propriété de linéarité des primitives. Il s'agit de trouver séparément une primitive de la fonction puissance \( t^2 \) et de la fonction trigonométrique \( -2\sin(4t) \), puis de les additionner.
• Question 2 : Le but est de trouver la primitive \( G \) de la fonction \( g(t) = -4\sin(2t) \) qui vérifie une condition initiale : \( G(\frac{\pi}{2}) = 0 \). Cet exercice met l'accent sur le rôle de la constante d'intégration. Après avoir trouvé la famille de primitives \( G(t) = 2\cos(2t) + C \), on utilise la condition donnée pour déterminer la valeur unique de \( C \).
• Question 3 : Une question plus théorique qui explore la relation entre deux primitives d'une même fonction.
  • a) On doit montrer que \( M(t) = \sin^2(t) \) et \( N(t) = -\cos^2(t) \) sont deux primitives d'une même fonction. La méthode consiste à dériver \( M(t) \) et \( N(t) \) pour vérifier qu'elles ont la même dérivée. On trouve \( M'(t) = 2\sin(t)\cos(t) = \sin(2t) \) et \( N'(t) = -2\cos(t)(-\sin(t)) = \sin(2t) \). Cette question mobilise donc des compétences de dérivation de fonctions trigonométriques.
  • b) Il est ensuite demandé de déduire la nature de la fonction \( M - N \). Puisque deux primitives d'une même fonction ne diffèrent que par une constante, \( M(t) - N(t) = C \). Le calcul direct \( M(t) - N(t) = \sin^2(t) - (-\cos^2(t)) = \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 \) permet de retrouver ce résultat et de spécifier la valeur de la constante.

Exercice 2 : Le remplissage d'une cuve (8 points)

Ce deuxième exercice est un problème concret qui illustre l'utilisation des primitives dans un contexte physique. Il aborde également une méthode d'approximation numérique, la méthode d'Euler, lorsque le calcul explicite d'une primitive n'est pas au programme.

• Le contexte est posé : le volume d'eau \( V(t) \) dans une cuve est une primitive du débit de la pompe, \( d(t) = \frac{60}{t+1} \), avec une condition initiale \( V(0)=0 \).
• Question 1 : Il s'agit d'abord de calculer quelques valeurs du débit et de justifier que la fonction débit \( d \) est décroissante sur l'intervalle \( [0; 4] \). Cela demande d'étudier le signe de sa dérivée, \( d'(t) = \frac{-60}{(t+1)^2} \), qui est négative, confirmant ainsi la décroissance.
• Questions 2 et 3 : L'essentiel de l'exercice repose sur l'application de la méthode d'Euler avec un pas de 1. L'approximation est donnée par la formule \( V(t+1) \approx V(t) + 1 \times d(t) \). Il faut compléter un tableau de valeurs approchées du volume et représenter graphiquement cette approximation. C'est une introduction pratique à l'intégration numérique.
• Question 4 : La dernière question invite à une analyse critique de la méthode. En comparant la valeur approchée \( V(4) \) avec une valeur plus précise, on doit déterminer si la méthode a sur-estimé ou sous-estimé le volume. L'explication repose sur le sens de variation de \( d(t) \): puisque \( d \) est décroissante, la pente de la tangente diminue, et l'approximation d'Euler (qui utilise la pente au début de l'intervalle) est une sur-estimation. On commente ensuite l'amélioration de la précision lorsque le pas de la méthode diminue.

Exercice 3 : La charge d'un condensateur (6 points)

Ce dernier exercice est un autre problème d'application, cette fois-ci dans le domaine de l'électricité. Il s'agit d'un problème d'optimisation qui combine la recherche de primitive et l'étude de fonction.

• Le problème est défini par l'intensité du courant \( i(t) = 12 - 3t \). La charge \( q(t) \) est la primitive de \( i(t) \) telle que \( q(0)=0 \), et la tension est \( u(t) = \frac{q(t)}{C} \).
• La question centrale est de savoir si le condensateur risque d'être endommagé, c'est-à-dire si la tension \( u(t) \) dépasse 16V sur l'intervalle de temps \( [0; 4] \).
• Pour résoudre ce problème, la démarche est la suivante :
  1. Trouver la primitive : On détermine l'expression de la charge \( q(t) \) en intégrant \( i(t) \). La primitive de \( 12 - 3t \) est \( 12t - \frac{3}{2}t^2 + K \). La condition \( q(0)=0 \) impose \( K=0 \).
  2. Expression de la tension : On en déduit la fonction tension \( u(t) = \frac{12t - 1.5t^2}{2} = 6t - 0.75t^2 \). C'est un polynôme du second degré.
  3. Recherche du maximum : Pour savoir si la tension dépasse 16V, il faut trouver le maximum de la fonction \( u(t) \) sur \( [0; 4] \). Cela se fait en étudiant ses variations : on calcule sa dérivée \( u'(t) = 6 - 1.5t \), on cherche quand elle s'annule (pour \( t=4 \)), et on dresse le tableau de variation. Le maximum est atteint à \( t=4 \)s.
  4. Conclusion : On calcule la valeur de ce maximum, \( u(4) = 12V \). Comme \( 12V < 16V \), on conclut que le condensateur ne risque pas d'être endommagé. Cet exercice est une application directe du calcul de primitive et de l'étude du maximum d'un polynôme du second degré.