Analyse du sujet de mathématiques : Primitives - Première STI2D

Ce document présente une analyse détaillée et le corrigé d'un contrôle de mathématiques sur le chapitre des primitives, destiné aux élèves de Première STI2D. Ce sujet, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, évalue la compréhension des concepts fondamentaux liés à la primitivation, ainsi que leur application dans divers contextes. Il constitue un excellent support de révision pour les élèves souhaitant maîtriser le calcul de primitives et ses applications.

Exercice 1 : Automatismes (QCM)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples conçu pour évaluer rapidement les connaissances de base sur les primitives.

• Question 1 : Il s'agit de trouver une primitive de la fonction puissance \(f(x) = 6x^2\). La compétence requise est la connaissance des primitives usuelles, notamment la formule pour \(x^n\). Une primitive de \(x^n\) est \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\). Ainsi, une primitive de \(6x^2\) est \(6 \times \frac{x^3}{3} = 2x^3\).
• Question 2 : Cette question inverse le processus. Étant donné une fonction \(F(x) = x^3 - \frac{x^2}{2} + 4\), il faut identifier la fonction \(f\) dont \(F\) est la primitive. Cela revient à vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre, ce qui se fait par dérivation. On calcule \(F'(x) = 3x^2 - \frac{2x}{2} = 3x^2 - x\).
• Question 3 : Ici, on explore la relation fondamentale entre deux primitives d'une même fonction. Si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de \(f\), alors \(G(x) - F(x) = C\), où \(C\) est une constante. Avec les conditions \(F(0) = 2\) et \(G(0) = 5\), on trouve la constante \(C = G(0) - F(0) = 5 - 2 = 3\).
• Question 4 : Cette question teste la connaissance des primitives des fonctions trigonométriques. Il faut trouver une primitive de \(t \mapsto 2 \sin(t)\). Sachant qu'une primitive de \(\sin(t)\) est \(-\cos(t)\), une primitive de la fonction donnée est \(t \mapsto -2 \cos(t)\).
• Question 5 : Il s'agit de déterminer l'unique primitive d'une fonction qui satisfait une condition initiale. On cherche la primitive \(F\) de \(x \mapsto 2x\) telle que \(F(1) = 0\). Les primitives de \(2x\) sont de la forme \(F(x) = x^2 + C\). La condition \(F(1)=0\) permet de trouver la constante d'intégration : \(1^2 + C = 0 \implies C = -1\). La solution est donc \(F(x) = x^2 - 1\).

Exercice 2 : Calculs de primitives

Cet exercice est un test direct sur la capacité à effectuer des calculs de primitives pour des fonctions polynomiales. Il met en jeu la maîtrise des primitives de fonctions puissances et la linéarité de la primitivation (décomposition de primitives).

• 1) \(f(x) = 4x^3 – 6x + 5\) : Une primitive est \(F(x) = 4\frac{x^4}{4} - 6\frac{x^2}{2} + 5x = x^4 - 3x^2 + 5x\).
• 2) \(g(x) = x^2 + 4x − 1\) : Une primitive est \(G(x) = \frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - x = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x\).
• 3) \(h(t) = (t − 1)(t + 3)\) : Il faut d'abord développer l'expression : \(h(t) = t^2 + 2t - 3\). Une primitive est alors \(H(t) = \frac{t^3}{3} + t^2 - 3t\).
• 4) \(k(x) = 0,5x^3 + 2\) : Une primitive est \(K(x) = 0,5\frac{x^4}{4} + 2x = 0,125x^4 + 2x\).

Exercice 3 : Le chariot autonome

Ce problème concret est un grand classique d'application des primitives en cinématique. La position est une primitive de la vitesse.

• 1) & 2) : Les premières questions concernent l'étude de la fonction vitesse \(v(t) = 1,2t – 0,3t^2\), qui ne fait pas directement appel aux primitives mais prépare le contexte.
• 3) Détermination de \(x(t)\) : C'est le cœur du problème. On sait que \(x'(t) = v(t)\) et \(x(0) = 0\). Il faut donc trouver la primitive de \(v(t)\) qui s'annule en 0. \(x(t)\) est une primitive de \(1,2t - 0,3t^2\), donc \(x(t) = 1,2\frac{t^2}{2} - 0,3\frac{t^3}{3} + C = 0,6t^2 - 0,1t^3 + C\). La condition \(x(0) = 0\) impose \(C=0\). D'où \(x(t) = 0,6t^2 - 0,1t^3\). Cette question est une application directe de la compétence "Trouver la constante d'une primitive".
• 4) & 5) : Ces questions sont des applications numériques directes de l'expression de \(x(t)\) trouvée précédemment, permettant de calculer la distance totale parcourue et la distance à mi-parcours.

Exercice 4 : Deux primitives d'une même fonction

Cet exercice final est plus conceptuel et graphique. Il vise à s'assurer que la relation entre les différentes primitives d'une fonction est bien comprise, tant sur le plan algébrique que graphique.

• 1) Vérification de primitive : On doit montrer que \(F(x) = x^3 – 3x^2 + 2\) est une primitive de \(f(x) = 3x^2 - 6x\). Un simple calcul de dérivée confirme que \(F'(x) = 3x^2 - 6x = f(x)\).
• 2) Relation entre primitives : On vérifie que \(G(x) = x^3 – 3x^2 – 2\) est aussi une primitive de \(f\) en calculant sa dérivée. On calcule ensuite la différence \(G(x) - F(x) = -4\). Cela illustre la propriété fondamentale vue dans l'introduction aux primitives.
• 3) Interprétation graphique : La relation \(G(x) = F(x) - 4\) signifie que la courbe de \(G\) est l'image de la courbe de \(F\) par une translation verticale vers le bas. Comme \(F'(x) = G'(x)\), les tangentes aux points de même abscisse sont parallèles.
• 4) Recherche d'une primitive spécifique : On demande de trouver la constante pour une primitive \(H\) de \(f\) passant par le point \(A(2; 1)\). On sait que \(H(x) = x^3 - 3x^2 + C\). La condition \(H(2) = 1\) donne \(2^3 - 3(2^2) + C = 1\), soit \(8 - 12 + C = 1\), ce qui mène à \(C = 5\). La primitive recherchée est donc \(H(x) = x^3 - 3x^2 + 5\).

En conclusion, ce sujet de maths pour Première STI2D sur les primitives est très complet. Il balaye les compétences essentielles : calculatoire (primitives usuelles, de puissances, trigonométriques), conceptuelle (relation entre primitives, détermination de constante) et applicative (problème de cinématique).