Contrôle de Mathématiques Corrigé : Suites et Produit Scalaire en Première

Découvrez le corrigé détaillé d'un sujet de mathématiques de niveau Première spécialité, portant sur les chapitres des généralités sur les suites numériques et du produit scalaire. Ce contrôle, d'une durée de 50 minutes, est un excellent support pour s'entraîner et valider ses connaissances. Chaque exercice est analysé pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et les compétences clés à maîtriser.

Exercice 1 : Étude d'une suite récurrente (3 points)

Cet exercice aborde l'étude d'une suite \((u_n)\) définie par une relation de récurrence. On donne le premier terme \(u_0 = -7\) et la relation \(u_{n+1} = u_n - 2n + 1\).

• Question 1 : La première étape consiste à se familiariser avec la suite en calculant ses premiers termes : \(u_1, u_2\) et \(u_3\). C'est une application directe de la formule de récurrence.
• Question 2 : Il est ensuite demandé d'étudier le sens de variation de la suite \((u_n)\). Pour cela, la méthode la plus adaptée est d'étudier le signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\). L'énoncé nous donne directement \(u_{n+1} - u_n = -2n + 1\). L'étude du signe de cette expression en fonction de \(n\) permet de conclure sur la croissance ou la décroissance de la suite.

Exercice 2 : Variations de suites explicites (4 points)

Ce deuxième exercice se concentre sur l'étude du sens de variation de deux suites définies de manière explicite, en utilisant différentes techniques.

• Partie 1 : On étudie la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{3n+1}{6^n}\).
  • a. Il faut d'abord montrer que tous les termes de la suite sont strictement positifs (\(u_n > 0\)), ce qui est une condition nécessaire pour la méthode qui suit.
  • b. La question guide vers l'utilisation de la méthode du quotient. On calcule le rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) et on le compare à 1. Si le rapport est supérieur à 1, la suite est croissante ; s'il est inférieur à 1, elle est décroissante.
• Partie 2 : On s'intéresse à une autre suite, \((v_n)\) définie par \(v_n = \frac{n+1}{n+2}\). Pour étudier son sens de variation, on peut revenir à la méthode de la différence (\(v_{n+1} - v_n\)) ou utiliser la méthode de la fonction associée, comme dans l'exercice suivant.

Exercice 3 : Variation d'une suite et fonction associée (3 points)

Cet exercice propose d'étudier le sens de variation de la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = n^2 - 3n + 2\) en utilisant une méthode spécifique.

La consigne impose d'utiliser la fonction associée \(f(x) = x^2 - 3x + 2\). Le sens de variation de la suite \((u_n)\) pour \(n \ge 0\) est le même que celui de la fonction \(f(x)\) pour \(x \ge 0\). Il faut donc :

• Calculer la dérivée de la fonction, \(f'(x)\).
• Étudier le signe de la dérivée \(f'(x)\) pour déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
• Transposer ces résultats à la suite \((u_n)\).

Exercice 4 : QCM sur le Produit Scalaire (4 points)

Ce questionnaire à choix multiples évalue la maîtrise des différentes formules et propriétés du produit scalaire dans un contexte géométrique. Une figure est fournie avec des données de longueurs et d'angles (\(AB = 3, AD = 5, \widehat{BAE} = 60°, \widehat{DAC} = 30°\)).

Les questions portent sur le calcul de produits scalaires variés :

• Question 1 : Calcul de \(\vec{AB} \cdot \vec{AD}\). Il s'agit d'appliquer la formule \(||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cos(\theta)\), en identifiant correctement l'angle entre les deux vecteurs.
• Question 2 : Calcul de \(\vec{CD} \cdot \vec{AB}\). Cette question peut se résoudre en utilisant une décomposition avec la relation de Chasles ou en utilisant les coordonnées dans un repère bien choisi.
• Question 3 : Calcul de \(\vec{AB} \cdot \vec{BE}\). La relation de Chasles (\(\vec{BE} = \vec{BA} + \vec{AE}\)) est ici très efficace pour simplifier le calcul et aboutir à une expression impliquant des normes au carré et d'autres produits scalaires plus simples.
• Question 4 : Calcul de \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\). Encore une application des formules du produit scalaire, qui peut nécessiter des calculs géométriques préliminaires pour trouver un angle ou utiliser une projection.

Exercice 5 : Vrai ou Faux sur le Produit Scalaire (6 points)

Ce dernier exercice demande de juger de la véracité de trois affirmations concernant un triangle isocèle et de justifier chaque réponse. On a un triangle \(ABC\) isocèle en \(A\) avec \(AB = 4\) et \(\widehat{BAC} = 45°\). Les points \(A'\) et \(B'\) sont les milieux respectifs de \([BC]\) et \([AC]\).

• Affirmation 1 : \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -8\sqrt{2}\). On calcule le produit scalaire avec la formule de l'angle (\(||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{AC}|| \cos(\widehat{BAC})\)) et on compare le résultat à la valeur proposée.
• Affirmation 2 : \(\vec{AB} \cdot \vec{AB'} = 4\sqrt{2}\). Ici, on utilise la propriété du milieu (\(\vec{AB'} = \frac{1}{2}\vec{AC}\)) pour relier ce calcul au précédent.
• Affirmation 3 : \(\vec{CB} \cdot \vec{CA} = 4 \times CB \times \cos(67,5°)\). On compare l'affirmation avec la définition du produit scalaire (\(||\vec{CB}|| \cdot ||\vec{CA}|| \cos(\widehat{BCA})\)). Il faut donc calculer l'angle \(\widehat{BCA}\) dans le triangle isocèle \(ABC\) pour valider l'égalité.

Ce sujet de contrôle est complet et balaie les compétences essentielles sur les suites et le produit scalaire pour un élève de Première spécialité. La réussite passe par la connaissance des différentes méthodes d'étude de variation d'une suite et la manipulation des formules du produit scalaire.