Introduction
Allez les amis, c'est parti pour la deuxième méthode d'étude des variations d'une suite : la méthode du quotient. Vous allez voir, elle est plutôt pratique. Pour cette technique, il va s'agir non pas, comme avec la méthode de la différence, d'étudier \(u_{n+1} - u_n\) et de regarder le signe, mais d'étudier \(u_{n+1} / u_n\) et de regarder non pas si c'est positif ou négatif, mais est-ce que c'est plus grand que 1 ou plus petit que 1. C'est l'objectif. Attention, chaque fois que vous utilisez cette technique, il faut vérifier une chose : c'est que la suite \(u_n\) soit strictement positive.
Justification de la positivité de la suite
Pourquoi doit-elle être strictement positive ? La première réponse est évidente : si elle est égale à zéro, vous allez faire \(u_{n+1} / u_n\), donc vous prenez le risque de diviser par 0. Pourquoi strictement positive ? Parce qu'en fait, si elle est négative, la suite va ouvrir des problèmes. Vous pouvez avoir \(u_{n+1} / u_n\) qui est plus grand que par exemple -7 / -6 et pourtant -7 est plus petit que -6. La suite serait croissante. Donc on vérifie qu'elle est strictement positive, on calcule \(u_{n+1}\), on calcule \(u_n\), on fait le quotient et on regarde s'il est plus grand que 1.
Exemple d'application de la méthode du quotient
Prenons une suite définie de manière récurrente. Pour justifier qu'elle soit strictement positive, c'est simple : \(4^n + 2\) est positif. \(4^n\) sera toujours positif, quel que soit \(n\). De même, \(3^n\) est positif, quel que soit \(n\). Donc \(4^n + 2 / 3^n\) est positif. J'ai donc le droit d'utiliser ma technique.
Quand vous prenez un nombre positif que vous divisez par un autre nombre positif, quelles que soient ces deux nombres, ça donnera quelque chose de positif. Alors je calcule \(u_{n+1}\). \(u_{n+1}\) me donne \(4^{n+2} / 3^{n+1}\). C'est mon \(u_{n+1}\). Maintenant, je vais devoir calculer \(u_{n+1} / u_n\), autrement dit \(4^{n+3} / 3^{n+1} / 4^{n+2} / 3^n\).
Là, vous vous souvenez d'une technique de calcul qu'on a vu mille fois : quand j'ai un quotient qui est divisé par un autre quotient, j'ai le droit de dire que c'est le premier quotient multiplié par l'inverse du deuxième quotient. Donc, quand j'ai un quotient de quotients, j'ai juste à le transformer en une multiplication en inversant le sens du deuxième quotient.
Pourquoi fait-on ça ? Parce que notre \(4^{n+3} / 3^{n+1}\) divisé par \(4^{n+2} / 3^n\) va se transformer en \(4^{n+3} / 3^{n+1} \times 3^n / 4^{n+2}\). Et là, vous vous dites : "Mais ça ressemble à rien cette histoire, c'est vraiment incompréhensible". On va le réorganiser pour que ce soit plus simple à voir.
Je vous rappelle quelque chose : parmi les règles de calcul, quand on a \(a^b / a^c\), c'est-à-dire le même nombre avec des puissances différentes qui est divisé, vous avez le droit de soustraire les deux. Donc, c'est \(a^{b-c}\). Au passage, quand vous avez \(a^b \times a^c\), ça nous fait \(a^{b+c}\). Ces formules, franchement, ça sert tout le temps.
Pourquoi est-ce que ça nous intéresse ? Parce que moi, je vais intervertir ces deux-là. Là, j'ai le droit. Donc, quand je fais \(3^n / 3^{n+1} \times 4^{n+3} / 4^{n+2}\), ça me donne \(3^{n-n-1} \times 4^{n+3-n-2}\). Ça me fait \(3^{-1} \times 4^1\). \(3^{-1}\) c'est \(1/3\), \(4^1\) c'est 4. Donc, ça fait \(1/3 \times 4\), c'est la même chose que \(4/3\).
Comment est-ce que c'est par rapport à 1 ? Je vous fais la technique du quotient. \(4/3\) est plus grand que 1 parce que 4 est plus grand que 3. Donc, \(u_n\) est croissant. Vous encadrez et vous avez votre point. Ça, c'est un exemple de contrôle 1. Franchement, ça tombe en contrôle, c'est un niveau de type contrôle.
Conclusion
Donc, pour utiliser la méthode du quotient avec les suites pour étudier leur variation, vous devez d'abord vérifier que la suite \(u_n\) est strictement positive. Ensuite, calculez le quotient \(u_{n+1} / u_n\) et demandez-vous s'il est plus grand que 1, auquel cas c'est croissant, ou s'il est plus petit que 1, auquel cas c'est décroissant. Allez, au boulot les amis, ça tombe en contrôle.