Découvrez ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité, entièrement focalisé sur deux chapitres clés du programme : les polynômes du second degré et les probabilités conditionnelles. Ce sujet, prévu pour une durée de 1h45 et sans calculatrice, est un excellent outil de révision et d'évaluation. Il balaye les compétences essentielles, de la manipulation des trinômes à la résolution de problèmes complexes de probabilités. Ce document est idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner avec un contrôle corrigé réaliste et pour les enseignants cherchant des ressources pédagogiques de qualité.

Exercice 1 : Les bases du second degré

Cet exercice en deux questions indépendantes permet de vérifier la maîtrise des formes d'un polynôme du second degré.

• Question 1 : On part de la fonction \( f(x) = x^2 + 3x - 3 \). L'objectif est de la transformer pour obtenir sa forme canonique \( f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta \). Cette compétence est fondamentale car elle permet de déterminer immédiatement les coordonnées du sommet de la parabole \( S(\alpha, \beta) \) et, par conséquent, de déduire le tableau de variation de la fonction.
• Question 2 : Le problème est inversé. On doit retrouver l'expression de la fonction \( f(x) \) à partir de trois points de sa courbe représentative : \( A(2, -3) \), \( B(-7, 0) \) et \( C(9, 0) \). L'astuce ici est de reconnaître que les points B et C sont les racines du polynôme (car leur ordonnée est nulle). On peut donc utiliser la forme factorisée \( f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) \). Le troisième point A sert ensuite à déterminer la valeur du coefficient \( a \).

Exercice 2 : Résolution d'équations

Cet exercice est un test direct de la capacité à résoudre des équations du second degré dans \( \mathbb{R} \). Trois cas sont proposés pour s'assurer que la méthode est bien acquise :

1. \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) : Une équation standard où le calcul du discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) est la méthode la plus sûre.
2. \( x\sqrt{3} - x^2 - 1 = 0 \) : Une variation qui inclut une racine carrée dans les coefficients, mais la méthode de résolution reste identique.
3. \( x^2 - 4x = -1 \) : Une équation qu'il faut d'abord ramener à la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) avant d'appliquer les formules du cours.

Exercice 3 : Équation du second degré avec paramètre

Cet exercice plus théorique est un classique des contrôles de maths. Il s'agit d'étudier une équation contenant un paramètre réel \( m \): \( (m - 2)x^2 + 2(m-3)x + 3m+1 = 0 \).

• Il faut d'abord identifier la condition sur \( m \) pour que l'équation soit bien du second degré (le coefficient de \( x^2 \) ne doit pas être nul).
• Ensuite, on calcule le discriminant \( \Delta_m \) en fonction de \( m \), ce qui mène à une nouvelle expression du second degré en \( m \).
• La discussion porte sur le nombre de solutions de l'équation initiale en étudiant le signe du polynôme \( \Delta_m \). Cela demande de trouver les racines de \( \Delta_m \) et de dresser son tableau de signe.
• Enfin, une question pratique demande de trouver \( m \) pour qu'une valeur spécifique (ici, -2) soit solution de l'équation, ce qui se résout par simple substitution.

Exercice 4 : Introduction aux probabilités conditionnelles

Ce problème concret de probabilités nous plonge dans une situation de la vie courante. L'enjeu est de traduire un énoncé en langage probabiliste et d'utiliser les premières formules des probabilités conditionnelles.

• On définit les événements et on extrait les probabilités de l'énoncé, comme \( P(A) \) et la probabilité conditionnelle \( P_A(S) \).
• On calcule la probabilité d'une intersection d'événements \( P(A \cap S) \) à l'aide de la formule \( P(A \cap S) = P(A) \times P_A(S) \).
• L'exercice explore également les événements contraires et demande de déduire une probabilité conditionnelle à partir d'informations croisées, ce qui prépare à l'utilisation d'un arbre de probabilités ou d'un tableau.

Exercice 5 : Formule d'union et intersection

Un autre exercice d'application directe des formules de probabilités. À partir des probabilités \( P(V) \), \( P(A) \) et de leur union \( P(A \cup V) \), on doit retrouver la probabilité de leur intersection. C'est une application directe de la formule : \( P(A \cup V) = P(A) + P(V) - P(A \cap V) \). Par la suite, on en déduit une probabilité conditionnelle, ce qui renforce la compréhension du lien entre ces différentes notions.

Exercice 6 : Utilisation d'un tableau à double entrée

Cet exercice montre l'efficacité des tableaux de probabilités pour organiser les données et calculer rapidement diverses probabilités. À partir d'un tableau d'effectifs incomplet, le travail consiste à :

1. Compléter le tableau en utilisant les totaux marginaux.
2. Calculer des probabilités d'événements simples et d'intersections en divisant l'effectif concerné par l'effectif total.
3. Calculer des probabilités conditionnelles, comme \( P_A(I) \), et interpréter le résultat avec une phrase claire.

Exercice 7 : Inversion de l'arbre de probabilités

Cet exercice final est le plus subtil. Il demande de calculer \( P(M|S) \) alors que les données de l'énoncé permettent de trouver \( P(S|M) \). C'est un cas typique qui nécessite soit la formule de Bayes, soit, plus simplement au niveau Première, la construction d'un tableau à double entrée ou l'utilisation de la loi des probabilités totales pour retrouver la probabilité de l'intersection \( P(M \cap S) \) et en déduire la probabilité conditionnelle cherchée. Une excellente préparation aux problèmes plus complexes de probabilités.