Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles et Arbre Pondéré

Cet exercice est une application classique des probabilités conditionnelles dans un contexte concret d'agence de voyage. On étudie le choix de transport (avion, train, bus) et la souscription à une assurance multirisque. Les questions vous guideront pas à pas :

• Construction d'un arbre pondéré : La première étape consiste à modéliser la situation. On commence par les branches des transports, \(P(A) = 0.55\), \(P(T) = 0.40\), et on en déduit \(P(B) = 0.05\). Puis, pour chaque transport, on ajoute les branches pour l'assurance (S) ou non (\(\bar{S}\)) avec les probabilités conditionnelles données.
• Calcul d'une probabilité d'intersection : On vous demande de calculer la probabilité qu'un client voyage en train ET ait souscrit l'assurance. En utilisant l'arbre, cela se traduit par le calcul de \(P(T \cap S) = P(T) \times P_T(S)\).
• Loi des probabilités totales : Pour trouver la probabilité totale de souscrire une assurance, \(P(S)\), il faut additionner les probabilités de tous les chemins menant à l'événement S. La formule est : \(P(S) = P(A \cap S) + P(T \cap S) + P(B \cap S)\).
• Probabilité conditionnelle inversée : La dernière question est un exemple typique d'inversion de conditionnement. On cherche la probabilité qu'un client ait choisi le bus sachant qu'il a une assurance, soit \(P_S(B) = \frac{P(B \cap S)}{P(S)}\).

Exercice 2 : Étude d'une fonction rationnelle

Cet exercice se concentre sur l'analyse complète d'une fonction rationnelle \(f(x) = \frac{x^2 - x - 1}{x + 1}\) à travers une série d'affirmations à justifier.

• Domaine de définition : La première affirmation teste votre compréhension du domaine de définition, qui n'est restreint que par les valeurs annulant le dénominateur (ici, \(x \neq -1\)).
• Dérivée et tangentes horizontales : Pour trouver les tangentes horizontales, il faut calculer la dérivée de la fonction, \(f'(x)\), en utilisant la formule de dérivation d'un quotient \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). On trouve \(f'(x) = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}\). Les tangentes horizontales correspondent aux points où \(f'(x) = 0\), soit \(x=0\) et \(x=-2\).
• Équation de la tangente : On vérifie l'équation de la tangente en un point donné (ici, \(x=1\)) en utilisant la formule \(y = f'(1)(x-1) + f(1)\).
• Sens de variation : L'étude du sens de variation sur un intervalle, ici \(]-1; 0]\), se fait en étudiant le signe de la dérivée \(f'(x)\) sur cet intervalle.
• Identification graphique de la dérivée : Il s'agit de reconnaître la courbe de \(f'(x)\) parmi plusieurs propositions en se basant sur ses caractéristiques clés : racines, signe, et asymptote verticale.
• Bonus : La question bonus vous met au défi de trouver s'il existe une tangente parallèle à une droite donnée, ce qui revient à résoudre l'équation \(f'(x) = m\), où \(m\) est le coefficient directeur de la droite.

Exercice 3 : Problème d'optimisation

Ce problème d'application économique vous demande de maximiser le bénéfice d'une entreprise. Le bénéfice est modélisé par une fonction polynôme du troisième degré : \(B(x) = \frac{1}{3}x^3 - 22x^2 + 384x\).

La stratégie pour résoudre ce type de problème est systématique :

1. Dériver la fonction bénéfice pour obtenir \(B'(x)\).
2. Trouver les points critiques en résolvant l'équation \(B'(x) = 0\). Il s'agit ici de résoudre une équation du second degré.
3. Étudier le signe de la dérivée sur l'intervalle de définition \([0; 30]\) pour déterminer les variations de la fonction \(B\).
4. Dresser le tableau de variation complet de \(B\).
5. Identifier le maximum de la fonction et la valeur de \(x\) pour laquelle il est atteint, puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Exercice 4 : Suites arithmétiques et géométriques

L'exercice final est une étude comparative de deux modèles d'évolution de salaire, l'un arithmétique et l'autre géométrique. C'est un grand classique pour tester votre maîtrise des suites.

• Nature des suites : La première étape est d'identifier que le salaire de type 1 suit une suite arithmétique \((u_n)\) et le type 2 une suite géométrique \((v_n)\).
• Formules explicites : Vous devez ensuite déterminer l'expression de \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\), en faisant attention au premier terme \(u_1\) et \(v_1\).
• Comparaison des suites : À l'aide d'un tableur, on compare l'évolution des deux salaires pour déterminer à partir de quelle année le contrat de type 2 devient plus avantageux.
• Somme des termes : Le calcul des salaires totaux cumulés sur \(n\) années fait appel aux formules de la somme des termes d'une suite arithmétique (\(S_n = n \frac{u_1+u_n}{2}\)) et d'une suite géométrique (\(S'_n = v_1 \frac{1-q^n}{1-q}\)).
• Algorithmique : Enfin, l'exercice se termine par l'analyse d'un algorithme qui détermine l'année où le total des salaires perçus avec le contrat 2 dépasse celui du contrat 1.