Obtenez une analyse détaillée et le corrigé de ce contrôle de mathématiques pour le niveau Première, spécialité maths, entièrement dédié au chapitre sur les polynômes du second degré. Ce sujet, prévu pour une durée d'une heure et sans calculatrice, est un excellent entraînement pour maîtriser l'étude des fonctions trinômes, la résolution d'équations et d'inéquations, ainsi que les problèmes d'optimisation.

Ce document est une ressource pédagogique idéale pour les élèves de Première souhaitant s'exercer et comprendre en profondeur les concepts clés des fonctions quadratiques, et pour les enseignants à la recherche de supports de cours ou d'évaluation. Découvrez ci-dessous le détail des exercices et les compétences associées.

Exercice 1 : Les sandwichs du foodtruck (Problème de modélisation)

Cet exercice est un problème concret qui permet de mettre en application toutes les connaissances sur les polynômes du second degré. Il se divise en deux parties : l'étude de la recette et celle du bénéfice.

• Partie A : La recette. On modélise d'abord la recette R(p) en fonction du prix de vente p d'un sandwich. Le nombre de sandwichs vendus est donné par n(p) = 600 - 50p.
  • La première question consiste à calculer une valeur ponctuelle pour s'approprier le contexte.
  • Ensuite, il faut établir l'expression de la recette, R(p) = p × n(p), qui se révèle être un polynôme du second degré : R(p) = -50p² + 600p.
  • Une étape cruciale est de manipuler cette expression pour la mettre sous forme factorisée : R(p) = -50p(p - 12). Cette forme permet de résoudre facilement l'équation R(p) = 0, dont les solutions (les racines du polynôme) doivent être interprétées concrètement (prix pour lesquels la recette est nulle).
  • Enfin, on aborde la recherche du maximum de la fonction. Il faut déterminer l'axe de symétrie de la parabole (par exemple avec la formule p = -b/(2a) ou en prenant le milieu des racines) pour trouver le prix qui maximise la recette, puis calculer cette recette maximale.
• Partie B : Le bénéfice. On introduit le coût de production pour définir la fonction bénéfice B(p).
  • Le bénéfice est défini comme B(p) = (p - 2) × n(p). Après développement, on obtient un nouveau polynôme du second degré : B(p) = -50(p - 2)(p - 12).
  • L'objectif est ensuite de déterminer pour quels prix le foodtruck est rentable. Cela revient à résoudre l'inéquation B(p) > 0. Pour ce faire, on dresse le tableau de signe du polynôme en utilisant ses racines (2 et 12).
  • Comme pour la recette, la dernière question porte sur l'optimisation : trouver le prix qui rend le bénéfice maximal. On cherche donc le sommet de la parabole représentant B(p).

Exercice 2 : L'enclos des chèvres (Problème d'optimisation)

Ce deuxième exercice est un problème d'optimisation géométrique classique. Il s'agit de maximiser l'aire d'un enclos rectangulaire avec une contrainte sur son périmètre.

• La première étape est de traduire l'énoncé en langage mathématique. En notant x la longueur des côtés perpendiculaires à la rivière, on exprime la longueur du troisième côté en fonction de x et de la longueur totale de la clôture (40m). On obtient une longueur de 40 - 2x.
• On exprime ensuite l'aire de l'enclos, A(x), en fonction de x. On obtient l'expression d'une fonction polynôme du second degré : A(x) = x(40 - 2x) = -2x² + 40x.
• La question est de trouver la valeur de x pour laquelle cette aire est maximale. Cela revient à trouver l'abscisse du sommet de la parabole définie par A(x). On peut utiliser la formule x = -b/(2a).
• Une fois la valeur optimale de x trouvée, on calcule les dimensions de l'enclos et l'aire maximale correspondante.

Exercice 3 : Calculs sur une forme factorisée

Cet exercice purement technique vise à vérifier la maîtrise des différentes formes d'un polynôme du second degré et de leurs propriétés. La fonction est donnée sous sa forme factorisée : f(x) = (x + 3)(2x - 4).

• La première question demande de développer l'expression pour obtenir la forme ax² + bx + c.
• On demande ensuite de déterminer les racines de f, ce qui est immédiat à partir de la forme factorisée (un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul).
• La troisième question est de dresser le tableau de signe de f(x), en utilisant les racines précédemment trouvées et le signe du coefficient dominant a.
• Une question intéressante porte sur l'axe de symétrie. En calculant f(-2) et f(1), on constate que les images sont égales. La propriété de symétrie de la parabole permet d'en déduire que l'axe de symétrie se trouve à mi-chemin entre -2 et 1, soit en x = -0.5.
• Finalement, on synthétise toutes ces informations pour déterminer les coordonnées du sommet de la parabole (le minimum, car a > 0) et pour dresser le tableau de variation complet de la fonction f.

En résumé, ce sujet de contrôle sur les polynômes du second degré est très complet, abordant à la fois la technique pure (étude de fonction) et la mise en application à travers des problèmes concrets de modélisation et d'optimisation.