Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité maths est un excellent sujet pour réviser deux chapitres fondamentaux du programme : les suites géométriques et la fonction exponentielle. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, il teste la maîtrise des définitions, des formules et la capacité à modéliser une situation concrète. Ce document est un sujet corrigé idéal pour s'entraîner avant une évaluation.

Exercice 1 : Puissances et suites géométriques (6 points)

Cet exercice d'introduction vise à vérifier les bases sur les puissances et la manipulation des suites géométriques. Il est décomposé en quatre questions principales :

• Calculs de puissances : Il s'agit de calculer sans calculatrice des valeurs simples comme \(1,5^2\), \(2^5\) et \(0,5^3\). C'est un prérequis essentiel pour manipuler les suites et les fonctions exponentielles.
• Propriétés des puissances : L'élève doit démontrer sa maîtrise des règles opératoires en simplifiant des expressions telles que \(3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6\), \((2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6\), et \(\frac{1,2^5}{1,2^3} = 1,2^{5-3} = 1,2^2\).
• Étude d'une suite géométrique croissante : On étudie une suite \((v_n)\) définie par son premier terme \(v_0 = 40\) et sa raison \(q = 1,5\). Les questions sont classiques :
  • Calcul des premiers termes \(v_1, v_2, v_3\) en appliquant la formule de récurrence \(v_{n+1} = v_n \times q\).
  • Détermination de l'expression explicite de la suite : \(v_n = v_0 \times q^n = 40 \times 1,5^n\).
  • Justification du sens de variation. La suite est croissante car son premier terme est positif (\(v_0 > 0\)) et sa raison est supérieure à 1 (\(q > 1\)).
• Identification d'une suite géométrique décroissante : Une suite \((w_n)\) est donnée par \(w_0 = 4000\) et \(w_{n+1} = 0,8 \times w_n\). Il faut reconnaître la nature géométrique de la suite, identifier sa raison \(q = 0,8\) et en déduire son sens de variation (décroissante car \(w_0 > 0\) et \(0 < q < 1\)).

Exercice 2 : Un épisode de pollution aux particules fines (10 points)

Ce problème concret est un excellent exemple de modélisation mathématique. On y étudie l'évolution de la concentration de particules fines dans l'air, qui diminue de 10% chaque heure.

Partie A : Un modèle heure par heure

La première partie utilise un modèle discret à l'aide d'une suite numérique \((u_n)\), où \(u_n\) représente la concentration \(n\) heures après le début de l'épisode.

• On commence par traduire la baisse de 10% par un coefficient multiplicateur de 0,9. La relation de récurrence est donc \(u_{n+1} = 0,9 \times u_n\).
• On identifie la suite comme étant géométrique de raison \(q=0,9\) et de premier terme \(u_0 = 200\).
• On en déduit l'expression explicite \(u_n = 200 \times 0,9^n\).
• Enfin, on étudie le sens de variation de \((u_n)\) (décroissante) et on interprète ce résultat dans le contexte : la concentration en particules fines diminue au fil du temps.

Partie B : Un modèle à tout instant

La seconde partie étend le modèle discret à un modèle continu en introduisant la fonction exponentielle \(f(x) = 200 \times 0,9^x\) pour tout réel \(x \ge 0\).

• Lectures graphiques et sur tableau : À l'aide d'une courbe et d'un tableau de valeurs, l'élève doit être capable de répondre à des questions pratiques, comme déterminer l'heure à laquelle la concentration passe sous un seuil donné.
• Propriétés de la fonction : Une question clé demande de montrer que \(f(x+1) = 0,9 \times f(x)\), ce qui met en évidence la cohérence entre le modèle continu et le modèle discret (la concentration baisse bien de 10% sur n'importe quelle période d'une heure).

Exercice 3 : Question ouverte - qui a raison, Nour ou Elouan ? (4 points)

Cet dernier exercice est une question de raisonnement qui évalue la compréhension profonde des modèles étudiés. Il faut analyser deux affirmations :

• L'affirmation de Nour : Elle suggère une division par 2 environ toutes les 7 heures. Cela correspond à la notion de demi-vie. En calculant \(0,9^7 \approx 0,48\), on peut valider son intuition. La concentration est bien approximativement divisée par 2.
• L'affirmation d'Elouan : Il suppose une baisse constante de 20 µg/m³ par heure. C'est une erreur classique de modélisation : il confond un modèle géométrique (baisse en pourcentage) avec un modèle arithmétique (baisse absolue constante). Son raisonnement est incorrect, car la baisse absolue est de plus en plus faible au cours du temps, et la concentration n'atteint jamais zéro.

Ce sujet de maths de première est donc très complet et permet de balayer toutes les compétences essentielles sur les suites géométriques et leur application via la fonction exponentielle.