Découvrez un sujet de contrôle corrigé complet pour les élèves de Première en spécialité mathématiques. Ce devoir d'une heure, sans calculatrice, porte sur les chapitres fondamentaux des suites arithmétiques et des fonctions affines. C'est un excellent support pour s'entraîner, réviser les notions clés et maîtriser les méthodes de résolution de problèmes.

Ce sujet de maths est divisé en trois exercices progressifs qui évaluent la capacité à modéliser des situations concrètes, à manipuler les formules des suites et des fonctions, et à interpréter les résultats. Les compétences testées incluent la reconnaissance de suites, le calcul de termes, l'étude de variations, la résolution d'équations et d'inéquations, ainsi que la représentation graphique et l'interprétation des fonctions affines.

Exercice 1 : Le motif en croix (6 points)

Cet exercice est un QCM de type "Vrai ou Faux" où chaque réponse doit être rigoureusement justifiée. Il introduit une suite numérique `(c_n)` modélisant le nombre de carreaux dans des motifs en forme de croix. Le motif de rang `n` est composé d'un carreau central et de quatre branches de `n` carreaux.

• Définition de la suite : On établit rapidement l'expression explicite de la suite : `c_n = 1 + 4n`. À partir de là, on teste plusieurs affirmations.
• Affirmation 1 : Il s'agit de calculer un terme spécifique de la suite, `c_5`. Le calcul `c_5 = 1 + 4 \times 5 = 21` permet de valider l'affirmation.
• Affirmation 2 : Cette question teste la capacité à démontrer qu'une suite est arithmétique en utilisant la relation de récurrence. On doit montrer que `c_{n+1} - c_n` est constant. On a `c_{n+1} = 1 + 4(n+1) = 1 + 4n + 4`, donc `c_{n+1} - c_n = (5+4n) - (1+4n) = 4`. La relation `c_{n+1} = c_n + 4` est donc vraie.
• Affirmation 3 : On demande si la suite `(c_n)` est arithmétique de raison 5. D'après le calcul précédent, la raison est 4, donc l'affirmation est fausse.
• Affirmation 4 : Cette question se ramène à la résolution d'une équation. Existe-t-il un entier `n` tel que `c_n = 50` ? On résout `1 + 4n = 50`, ce qui donne `4n = 49` et `n = 12,25`. Comme `n` doit être un entier, l'affirmation est fausse.
• Affirmation 5 : Il faut étudier le sens de variation de la suite `(u_n)` définie par `u_n = 3 - 2n`. C'est une suite arithmétique de raison `r = -2`. Comme `r < 0`, la suite est strictement décroissante. L'affirmation est donc fausse.
• Affirmation 6 : On aborde ici les fonctions affines. Il faut vérifier si la droite passant par les points `A(0; 1)` et `B(2; 5)` a pour équation `y = 2x + 1`. On vérifie si les coordonnées des points satisfont l'équation : pour A, `1 = 2 \times 0 + 1` (vrai) ; pour B, `5 = 2 \times 2 + 1` (vrai). L'affirmation est correcte.

Exercice 2 : La cagnotte du voyage scolaire (8 points)

Cet exercice est un problème concret de modélisation utilisant deux suites arithmétiques. Deux classes, A et B, économisent de l'argent. On note `(a_n)` et `(b_n)` les montants de leurs cagnottes après `n` semaines.

• Initialisation : On a `a_0 = 850` et `b_0 = 1100`. La classe A ajoute 40€ par semaine et la classe B, 25€.
• Question 1 & 2 : On calcule les premiers termes (`a_1 = 890, a_2 = 930`) et on en déduit la formule de récurrence à utiliser dans un tableur, par exemple `=B2+40` pour la cellule B3.
• Question 3 & 4 : On identifie la nature des suites. `(a_n)` est une suite arithmétique de raison `r_a = 40` et de premier terme `a_0 = 850`. `(b_n)` est une suite arithmétique de raison `r_b = 25` et de premier terme `b_0 = 1100`. On doit ensuite donner leurs formes explicites : `a_n = 850 + 40n` et `b_n = 1100 + 25n`.
• Question 5 : Application numérique pour `n=10`. On calcule `a_{10}` et `b_{10}`.
• Question 6 : Il s'agit de résoudre une inéquation pour trouver à partir de quand la cagnotte A dépasse 1500€. On résout `a_n > 1500`, soit `850 + 40n > 1500`, ce qui mène à `n > 16,25`. La réponse est donc à partir de la 17ème semaine.
• Question 7 : Cette question porte sur la position relative des deux droites représentant les suites. On cherche `n` tel que `a_n > b_n`. On résout l'inéquation `850 + 40n > 1100 + 25n`, qui donne `15n > 250`, soit `n > 16,66...`. La cagnotte A dépasse celle de B à partir de la 17ème semaine.

Exercice 3 : Degrés Celsius et degrés Fahrenheit (6 points)

Le dernier exercice est une application des fonctions affines à une situation réelle : la conversion des températures. La fonction `f` est définie par `f(x) = 1,8x + 32`, où `x` est en degrés Celsius.

• Question 1 : Simple calcul d'images. On calcule `f(20)` et `f(100)`.
• Question 2 : On identifie `f` comme une fonction affine. Le coefficient directeur `a = 1,8` signifie qu'une augmentation de 1°C correspond à une augmentation de 1,8°F.
• Question 3 : C'est un calcul d'antécédent. On cherche `x` tel que `f(x) = 50`. Il faut donc résoudre l'équation `1,8x + 32 = 50`.
• Question 4 : On résout l'équation `f(x) = x` pour trouver le point où les deux échelles de température coïncident. La solution `x = -40` signifie que -40°C est égal à -40°F. C'est le point d'intersection de la droite d'équation `y = 1,8x + 32` et de la droite `y = x`.
• Question 5 : Il s'agit de représenter graphiquement la fonction `f`. C'est une droite. Pour la tracer, il suffit de calculer les coordonnées de deux points, par exemple `(0; 32)` et `(10; 50)`, et de les relier.