Découvrez notre corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Première, spécialité maths. Ce sujet, d'une durée d'1h30, est un excellent entraînement sur les chapitres des suites géométriques et des fonctions exponentielles. Il met l'accent sur la modélisation de situations concrètes et l'application des formules clés du cours.

Ce document est une ressource pédagogique idéale pour les élèves souhaitant réviser et s'évaluer, ainsi que pour les enseignants à la recherche de sujets de qualité. Chaque exercice est analysé pour mettre en lumière les compétences évaluées, en lien direct avec le programme officiel.

Exercice 1 : Le livret d'épargne d'Ilan (8 points)

Cet exercice est un classique sur la modélisation d'une situation financière à l'aide d'une suite géométrique. On étudie l'évolution d'un capital placé sur un livret d'épargne à intérêts composés.

• Modélisation de la situation : L'énoncé introduit un capital initial \( c(0) = 1500 \) € et un taux d'intérêt annuel de 2,5%. La première question demande de calculer les premiers termes de la suite, \( c(1) \) et \( c(2) \), ce qui permet de s'approprier le mécanisme des intérêts composés. On vérifie que \( c(1) = 1500 \times (1 + 0.025) = 1537.50 \) €.
• Identification d'une suite géométrique : Il est demandé d'établir la relation de récurrence liant deux termes consécutifs, à savoir \( c(n+1) = c(n) \times 1.025 \). Cette étape est cruciale pour démontrer que la suite \( (c(n)) \) est une suite géométrique, d'en préciser le premier terme \( c(0) = 1500 \) et la raison \( q = 1.025 \).
• Forme explicite et calculs : À partir de la nature de la suite, on doit déduire sa forme explicite : \( c(n) = c(0) \times q^n = 1500 \times 1.025^n \). Cette formule permet de calculer directement le capital à n'importe quelle année, comme \( c(10) \), sans avoir à calculer tous les termes intermédiaires.
• Lien avec la fonction exponentielle : L'exercice propose une transition vers un modèle continu en introduisant une variable réelle \( x \) représentant le temps. Le capital est alors donné par la fonction \( f(x) = 1500 \times 1.025^x \). Cela permet de calculer le capital pour des durées non entières, comme 6 mois (\( x = 0.5 \)).
• Taux d'évolution réciproque : La dernière question est plus fine et aborde la notion de taux équivalent. En calculant \( 1.025^{1/12} \), on détermine le coefficient multiplicateur mensuel qui, appliqué 12 fois, redonne le coefficient multiplicateur annuel. Cela permet de trouver le taux d'évolution mensuel moyen.

Exercice 2 : Fonctions exponentielles à la calculatrice (6 points)

Cet exercice se concentre sur les propriétés de la fonction exponentielle de base \( a \), notée \( f(x) = a^x \), et son application au calcul de taux moyens.

• Calcul d'images : La première question consiste à utiliser la calculatrice pour évaluer des fonctions comme \( f(x) = 1.08^x \) pour des valeurs entières et non entières de \( x \). C'est une compétence de base sur l'utilisation de la machine.
• Sens de variation : Une question fondamentale porte sur le sens de variation des fonctions exponentielles. On doit justifier que la fonction \( f(x) = 1.08^x \) est croissante car sa base \( a=1.08 \) est strictement supérieure à 1, tandis que \( g(x) = 0.95^x \) est décroissante car sa base \( a=0.95 \) est comprise entre 0 et 1.
• Calcul de taux d'évolution moyen : Plusieurs questions appliquent la notion de taux d'évolution réciproque pour trouver un taux annuel moyen. Par exemple, si un loyer est multiplié par 1,69 en deux ans, le coefficient multiplicateur annuel moyen est la racine carrée de 1,69, c'est-à-dire \( \sqrt{1.69} = 1.69^{1/2} = 1.3 \), ce qui correspond à un taux annuel moyen de 30%. Le même principe est appliqué pour une augmentation de 50% en cinq ans, nécessitant le calcul de \( 1.5^{1/5} \).
• Résolution d'inéquation : L'exercice se termine par la recherche d'un seuil. Il faut trouver, à l'aide de la table de valeurs de la calculatrice, le plus petit entier \( n \) tel que \( 1.08^n \geq 2 \). Cela correspond au temps de doublement pour un phénomène qui augmente de 8% par an.

Exercice 3 : La population de Valnoé (6 points)

Ce dernier exercice est un problème de synthèse complet qui mobilise toutes les compétences vues précédemment dans un contexte de démographie.

• Calculs de taux d'évolution : On commence par calculer un taux d'évolution global sur une longue période (14 ans), puis on montre comment en déduire le taux d'évolution annuel moyen en utilisant une racine quatorzième : \( t_{moyen} = \left(\frac{V_{finale}}{V_{initiale}}\right)^{1/14} - 1 \).
• Modélisation par une suite géométrique : En supposant que ce taux annuel moyen reste constant, on modélise l'évolution future de la population par une suite géométrique \( p(n) \). Il faut déterminer l'expression explicite de \( p(n) \) en fonction de \( n \), où \( n \) est le nombre d'années écoulées depuis 2024.
• Prévisions et seuil : Le modèle permet de faire des prévisions, comme estimer la population en 2030. On utilise ensuite le modèle pour répondre à une question de seuil : en quelle année la population dépassera-t-elle 20 000 habitants ? Cela revient à résoudre l'inéquation \( p(n) > 20000 \), typiquement en utilisant le menu "Table" de la calculatrice.
• Validation d'une affirmation : La question finale demande un regard critique sur le modèle en vérifiant une affirmation politique. Il faut utiliser la formule de la suite pour calculer la population estimée en 2050 et la comparer au double de la population de 2010 pour conclure.

En résumé, ce sujet de maths sur les suites et l'exponentielle est très complet. Il évalue la capacité à passer d'une situation concrète à un modèle mathématique (suite géométrique), à utiliser les formules de ce modèle (terme général) pour faire des calculs et des prévisions, et à maîtriser les concepts de taux d'évolution, notamment le calcul d'un taux moyen.