Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir comment résoudre par le calcul des inéquations simples avec des fonctions affines. On s'y met tous.
Tableau de signes d'une fonction affine
Ce que vous savez, c'est dresser le tableau de signes d'une fonction affine. Autrement dit, vous savez dire quand est-ce que \(f(x)\) est plus grand ou plus petit que 0. Du coup, si l'inéquation qui était là était \(f(2x) > 0\), vous auriez fait le tableau ci-dessus. Vous auriez dit : "C'est pas compliqué, elle est plus petite que 0 sur cet intervalle, donc quand \(x\) appartient à \(-\infty\) jusqu'à la valeur qui aurait été là".
Le problème, c'est que votre fonction est \(f(2x) \leq 2\). Donc on va d'abord transformer cette inéquation en une inéquation plus petite ou plus grande que 0. \(f(2x) < 2\) est exactement la même chose que de demander quand est-ce que \(2x - 2\) est plus petit que 0. En effet, avec \(f(2x) = 2x\), j'ai juste remplacé \(f(2x)\) par \(2x\). Je veux une inéquation en fonction de zéro, donc je vais prendre ce 2 qui m'embête et je vais le balancer de l'autre côté. Il va devenir \(-2\), nous avons donc \(2x - 2 < 0\). Il ne reste plus rien à droite, ça veut dire que \(2x + 3 < 0\).
Résolution de l'inéquation
Donc plutôt que de me demander quand est-ce que \(f(2x) < 2\), je me demande quand est-ce que \(2x + 3\) est plus grand que 0. Et \(2x + 3\) est une fonction affine, donc je peux faire son tableau de signes. Si je commence par me demander quand est-ce que \(2x + 3\) est égal à zéro, je passe mon 3 de l'autre côté, il devient \(-3\), je divise par deux, ça veut dire que \(x = -\frac{3}{2}\).
Ensuite, \(2x + 3\) est une fonction affine. Sa croissance ou décroissance dépend de son coefficient directeur, c'est-à-dire le nombre qui est devant le \(x\), ici c'est un 2. 2 est un nombre positif, du coup cette fonction \(2x + 3\) est croissante. Si elle est croissante, ça veut dire qu'avant de valoir 0, elle est négative et après elle est positive.
Du coup, à la question "Quand est-ce que \(2x + 3\) est plus petit ou égal à zéro ?", c'est-à-dire "Quand est-ce que \(2x + 3\) est négatif ?", la réponse est "Quand \(x\) est compris entre \(-\infty\) et \(-\frac{3}{2}\)". Donc ça équivaut à dire que \(x\) appartient à l'intervalle \([- \infty, -\frac{3}{2}]\).
Conclusion
Quand vous avez une fonction affine plus petite qu'un certain nombre, il faut transformer ça en une inéquation plus petite que zéro, parce que ce sont les seules inéquations que l'on sait gérer avec un tableau de signes. Donc on prend notre inéquation, on la transforme en une inéquation plus petite que zéro et on regarde quand les valeurs sont négatives.
Voilà, la solution est \(x \leq -\frac{3}{2}\). Vous avez des petits exercices à faire, ils vont vous faire du bien, ils vont faire beaucoup de bien. Faites-les, les petits champions.