Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques de niveau Terminale technologique (STL, STI2D), centré sur le chapitre des suites arithmétiques et géométriques. D'une durée de 1h30, cette évaluation avec calculatrice autorisée permet de balayer les compétences essentielles du programme : reconnaissance des suites, calcul de termes, utilisation des formules de somme, modélisation de situations concrètes et analyse d'algorithmes en Python. Ce corrigé détaillé est une ressource idéale pour la préparation au baccalauréat technologique.

Exercice 1 : Raisons, croissances et sommes (Vrai ou Faux)

Cet exercice de départ est un questionnaire de type Vrai/Faux qui vise à vérifier la maîtrise des définitions et des propriétés fondamentales des suites. Chaque réponse doit être rigoureusement justifiée.

• Affirmation 1 : Il s'agit de déterminer si trois nombres donnés (18, 24, 32) peuvent être des termes consécutifs d'une suite géométrique. La justification passe par le calcul du rapport entre les termes successifs : si $$\frac{24}{18} = \frac{32}{24}$$, alors la suite est géométrique.
• Affirmation 2 : De manière similaire, on teste si les nombres 1,5, 2,25 et 3,25 sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique. Pour cela, on calcule la différence entre les termes consécutifs : si $$2,25 - 1,5 = 3,25 - 2,25$$, alors la suite est arithmétique.
• Affirmation 3 : Cette question évalue la capacité à lier un type de croissance à un modèle de suite. Une augmentation fixe de 0,50 € chaque année correspond à une croissance linéaire, caractéristique d'une suite arithmétique, et non à une croissance exponentielle (modélisée par une suite géométrique).
• Affirmation 4 : Cette affirmation requiert le calcul de la somme des 10 premiers termes (de k=0 à k=9) d'une suite géométrique $$(w_n)$$ définie par son premier terme $$w_0 = 2000$$ et sa raison $$q = 0,9$$. Il faut appliquer la formule de la somme $$S_n = w_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$ et comparer le résultat à 13 000.

Exercice 2 : Le plan d'épargne de Soline

Ce problème complet est un grand classique d'application des suites. Il modélise l'évolution d'un capital sur un plan d'épargne avec intérêts composés et versements réguliers. Il est divisé en trois parties pour guider le raisonnement.

Partie A - Ce que devient un seul versement

On isole le premier versement de 1500 € pour étudier son évolution. La suite $$(p_n)$$ modélise la valeur de ce versement après n années.

• On doit d'abord calculer les premiers termes $$p_1$$ et $$p_2$$ pour s'approprier le modèle des intérêts composés (augmentation de 3% par an).
• Il faut ensuite démontrer que la suite $$(p_n)$$ est géométrique, identifier sa raison $$q = 1,03$$, et en déduire sa forme explicite : $$p_n = 1500 \times (1,03)^n$$.
• L'application de cette formule permet de calculer la valeur acquise à un horizon de 10 ans (en 2036).

Partie B - La valeur acquise par le plan

Cette partie s'intéresse au capital total sur le compte, en incluant tous les versements annuels. La suite $$(V_n)$$ modélise ce capital.

• Le calcul de $$V_1$$ et $$V_2$$ met en évidence la relation de récurrence $$V_{n+1} = 1,03 V_n + 1500$$, caractéristique d'une suite arithmético-géométrique.
• La question clé est d'exprimer $$V_{10}$$ comme la somme des valeurs acquises de chaque versement. On obtient une somme de termes d'une suite géométrique : $$V_{10} = 1500 + 1500 \times 1,03 + \dots + 1500 \times 1,03^{10}$$.
• Le calcul de cette somme, à l'aide de la formule adéquate, permet de déterminer le montant total sur le plan et de faire la part entre le total des versements et le montant des intérêts perçus.

Partie C - L'apport pour la boutique

La dernière partie utilise une formule explicite de $$V_n$$ fournie pour atteindre l'objectif final.

• Il s'agit de déterminer à partir de quelle année le capital de Soline dépassera l'apport demandé de 25 000 €. Cela revient à résoudre l'inéquation $$V_n > 25000$$.
• Cette résolution se fait typiquement à l'aide de la calculatrice (mode table ou résolution d'équations), une compétence technique importante. On cherche le plus petit entier n qui vérifie la condition.
• Enfin, on réalise un calcul concret des intérêts totaux pour commenter la perception initiale de Soline, liant ainsi les mathématiques à une analyse critique d'une situation.

Exercice 3 : Additionner des inverses avec Python

Cet exercice fait le lien entre les suites et l'algorithmique. Il porte sur l'étude d'une fonction Python qui calcule les termes de la suite harmonique $$H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$.

• La première question consiste à traduire la notation sommatoire $$\sum$$ et à calculer un terme simple ($$H_3$$).
• L'analyse du code Python demande de comprendre le fonctionnement d'une boucle `for`, le rôle d'une variable d'accumulation (qui stocke la somme) et d'un compteur (la variable de boucle).
• Il est demandé d'expliquer pourquoi les formules de somme des suites arithmétiques ou géométriques ne s'appliquent pas ici, renforçant la compréhension des conditions d'utilisation de ces formules.
• La dernière question teste la capacité à modifier un algorithme existant pour qu'il calcule une autre somme, ici la somme des cubes des entiers $$\sum_{k=1}^{n} k^3$$, ce qui demande de modifier la ligne de calcul à l'intérieur de la boucle.