Obtenez une analyse détaillée et le corrigé complet de ce devoir commun de mathématiques pour les classes de Terminale technologique. Ce sujet de 2 heures, avec calculatrice autorisée, couvre des chapitres essentiels du programme : les automatismes, les suites numériques (géométriques), la fonction exponentielle, la fonction logarithme, et l'étude de fonctions incluant la fonction inverse. Ce corrigé est un excellent outil de révision pour le baccalauréat technologique.

Ce contrôle est structuré en deux parties : une série d'automatismes pour tester les bases, et trois exercices d'application pour évaluer la capacité à modéliser, analyser et justifier.

Automatismes (4 points)

Cette première partie évalue la maîtrise des compétences de base à travers 8 questions rapides. Il s'agit de mobiliser des connaissances fondamentales sans justification détaillée :

• Question 1 : Utilisation des propriétés du logarithme décimal. À partir de \(\log(2) \approx 0,301\), il faut déduire la valeur de \(\log(2000)\) en utilisant la relation \(\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)\).
• Question 2 : Résolution d'une équation du second degré simple : \(x^2 = 49\).
• Question 3 : Manipulation d'une formule littérale \(P = U \times I\) pour exprimer une variable en fonction des autres.
• Question 4 : Factorisation d'une expression du second degré en utilisant l'identité remarquable \(a^2 - b^2\). L'expression est \(4x^2 - 9\).
• Question 5 : Résolution d'une équation avec la fonction inverse : \(\frac{1}{x} = 4\).
• Question 6 : Application d'un pourcentage d'augmentation, une compétence clé en mathématiques financières.
• Question 7 : Résolution d'une inéquation du premier degré : \(2x - 7 < 5\).
• Question 8 : Résolution d'une inéquation du second degré, \((x-2)(x+5) < 0\), nécessitant un tableau de signes.

Exercice 1 : Moins d'espèces à la caisse (7 points)

Cet exercice de mise en situation porte sur l'évolution d'un pourcentage et sa modélisation par une suite géométrique. Il est divisé en deux parties.

• Partie A : On étudie la baisse de la part des paiements en espèces de 62% en 2020 à 45% en 2024. Il faut calculer le taux d'évolution global sur la période, puis le taux d'évolution annuel moyen, ce qui implique l'utilisation de la racine quatrième du coefficient multiplicateur global.
• Partie B : On modélise la situation à partir de 2024 avec une baisse annuelle de 8%. Cela conduit à une suite géométrique \((v_n)\). Il faut justifier la nature de la suite, donner sa forme explicite \(v_n = v_0 \times q^n\), puis résoudre une inéquation de la forme \(45 \times 0,92^n < 20\) en utilisant le logarithme décimal pour trouver à partir de quelle année la part deviendra inférieure à 20%. L'exercice se termine par une question d'interprétation et de critique du modèle sur le long terme.

Exercice 2 : Le sorbet maison d'un restaurant (6 points)

Cet exercice est une étude de fonction classique appliquée à un problème de coût de production. Le coût moyen de fabrication est donné par la fonction \(C(x) = 0,2x + 3 + \frac{45}{x}\) pour \(x \in [1; 40]\).

• Calcul et interprétation : La première question demande de calculer des images et d'interpréter le terme \(\frac{45}{x}\) dans le contexte (amortissement des frais fixes).
• Dérivation : Il faut calculer la dérivée \(C'(x)\). Cela implique de savoir dériver une somme de fonctions, y compris une fonction de la forme \(\frac{k}{x}\). On doit ensuite montrer que la dérivée peut s'écrire sous une forme factorisée donnée : \(C'(x) = \frac{0,2(x-15)(x+15)}{x^2}\).
• Tableau de variations : À partir du signe de la dérivée, il faut dresser le tableau de variations complet de la fonction \(C\) sur l'intervalle \([1; 40]\). Cela permet de déterminer le coût moyen minimal et la quantité de sorbet à produire pour l'atteindre.
• Résolution d'inéquation : La dernière question demande de déterminer pour quelles quantités le coût moyen ne dépasse pas un certain seuil (9,80 €). Cela revient à résoudre l'inéquation \(C(x) \le 9,80\), en s'aidant d'une forme factorisée fournie dans l'énoncé.

Exercice 3 : Un semestre en quatre affirmations (Vrai ou Faux) (3 points)

Cet exercice rapide balaie plusieurs chapitres du programme et demande une justification pour chaque réponse.

• Affirmation 1 : Test sur les propriétés du logarithme : \(\log(100x) = 100 \log(x)\). Il faut connaître et appliquer la bonne formule pour justifier.
• Affirmation 2 : Étude du sens de variation d'une fonction \(g(x) = \frac{3}{x} - 2x\) sur \(]0; +\infty[\). La justification passe par le calcul de la dérivée et l'étude de son signe.
• Affirmation 3 : Calcul de la somme des 10 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 1,5. Il s'agit d'appliquer la formule du cours et de comparer le résultat à 250.
• Affirmation 4 : Résolution d'une équation exponentielle simple : \(0,5^x = 8\). La résolution peut se faire en passant par la même base (ici, la base 2) ou en utilisant les logarithmes.