Contrôle Corrigé de Mathématiques pour Terminale Technologique : Fonctions Exponentielles et Suites

Ce sujet de contrôle pour les élèves de Terminale Technologique est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser deux chapitres fondamentaux du programme : la fonction exponentielle et les suites arithmétiques et géométriques. Composé de quatre exercices variés, ce devoir balaye les compétences essentielles, de la connaissance des propriétés des fonctions à la modélisation de situations concrètes. Découvrez notre analyse détaillée et la correction pour maîtriser ces notions clés.

Exercice 1 : Bases, exposants et courbes (Vrai ou Faux)

Cet exercice est un QCM de type Vrai/Faux avec justification obligatoire. Il teste la maîtrise des propriétés fondamentales de la fonction exponentielle de base \(a\), notée \(x \mapsto a^x\). Les points évalués sont :

• Sens de variation : Reconnaître qu'une fonction \(x \mapsto a^x\) est croissante lorsque sa base \(a\) est strictement supérieure à 1 (Affirmation 1 avec \(a=1,02\)).
• Position relative : Comparer deux fonctions exponentielles. L'affirmation \(3^x > 2^x\) doit être analysée sur tout \(\mathbb{R}\), en pensant notamment au cas où \(x\) est négatif.
• Propriétés graphiques : Identifier la symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées entre les courbes des fonctions \(x \mapsto a^x\) et \(x \mapsto (1/a)^x = a^{-x}\) (Affirmation 3 avec \(a=2\) et \(1/a=0,5\)).
• Règles de calcul : Utiliser les propriétés des puissances, notamment \((a^m)^n = a^{mn}\), pour simplifier des expressions (Affirmation 4 avec \(1,5^{2x} = (1,5^2)^x\)).

Exercice 2 : La décoloration du bleu de méthylène

Ce problème concret, inspiré d'une expérience de chimie, sert de fil rouge pour connecter les suites géométriques et la fonction exponentielle.

• Partie A : À partir d'un tableau de mesures (concentration en fonction du temps), l'élève doit d'abord reconnaître une suite géométrique en calculant les rapports de termes consécutifs. Il doit ensuite en déduire la raison, le taux d'évolution associé, et utiliser la forme explicite \(c_n = c_0 \times q^n\) pour faire des prévisions.
• Partie B : Le problème passe à une modélisation continue avec une fonction \(f(t) = 40 \times a^t\). Il faut faire le lien entre le modèle discret et le modèle continu en montrant que \(a^{10}\) correspond à la raison de la suite. L'étude du sens de variation de la fonction exponentielle est ensuite demandée, ainsi que le calcul d'images et le tracé de la courbe représentative.
• Partie C : Cette partie est dédiée à la résolution d'un problème de seuil. Il s'agit de résoudre une inéquation de la forme \(f(t) < k\) à l'aide de la calculatrice. L'exercice se termine par une question d'analyse critique, visant à démonter un raisonnement faux sur l'addition des pourcentages d'évolution successifs.

Exercice 3 : Intercaler des mesures au tableur

Cet exercice évalue la capacité à utiliser un outil numérique, le tableur, en lien avec les propriétés mathématiques du modèle exponentiel. L'objectif est d'interpoler des points pour affiner un graphique. Les compétences testées incluent :

• La saisie de formules de calcul simples (moyenne arithmétique).
• La compréhension de la moyenne géométrique et son lien avec les suites géométriques.
• L'utilisation des références absolues et relatives (par exemple, figer une cellule avec le symbole $) pour recopier une formule.
• La démonstration d'une propriété mathématique du modèle exponentiel : la moyenne géométrique des images est l'image de la moyenne arithmétique des antécédents, soit \(\sqrt{f(t_1)f(t_2)} = f(\frac{t_1+t_2}{2})\).

Exercice 4 : Une collecte de sang (transversal : suites)

Ce dernier exercice est un problème classique de modélisation utilisant les suites géométriques. Une situation d'augmentation annuelle en pourcentage est présentée.

• Modélisation : Il faut justifier que la situation est modélisée par une suite géométrique, en déterminant sa raison à partir du taux d'évolution, et établir sa forme explicite.
• Calcul de somme : L'exercice demande de calculer le nombre total de dons sur une période de 10 ans, ce qui requiert l'application de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.
• Recherche de seuil : Comme dans l'exercice 2, il faut utiliser la calculatrice pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de donneurs dépassera une certaine valeur, ce qui revient à résoudre une inéquation du type \(u_n > k\).