Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la Terminale technologique est entièrement dédié au chapitre des probabilités conditionnelles. D'une durée indicative de 1h30, il est conçu pour évaluer en profondeur la maîtrise des concepts clés tels que les arbres pondérés, la formule des probabilités totales, l'inversion des conditionnelles et l'indépendance d'événements. C'est un excellent entraînement pour le baccalauréat, mêlant application directe des formules et résolution de problèmes concrets.

Exercice 1 : Les devis d'une mutuelle santé

Cet exercice de 10 points est un problème classique et complet sur les probabilités conditionnelles. Il met en scène une mutuelle santé qui reçoit des demandes de devis via trois canaux différents : Internet (événement \(W\)), téléphone (événement \(T\)) et agence (événement \(A\)). On s'intéresse à la probabilité qu'une demande aboutisse à une souscription (événement \(S\)).

• Question 1 : La compétence de base est testée : construire un arbre pondéré traduisant la situation. Il faut d'abord calculer la probabilité de l'événement manquant, \(P(A) = 1 - P(W) - P(T)\), puis placer correctement les probabilités conditionnelles données (\(P_W(S), P_T(S), P_A(S)\)) sur les branches secondaires.
• Question 2 : On demande de calculer la probabilité d'une intersection, \(P(T \cap S)\), en utilisant la formule \(P(T \cap S) = P(T) \times P_T(S)\). L'interprétation du résultat dans le contexte de l'exercice est également évaluée.
• Question 3 : C'est l'application directe de la formule des probabilités totales. Il faut montrer que \(P(S) = P(W \cap S) + P(T \cap S) + P(A \cap S) = 0,201\). La question se termine par une application concrète : estimer le nombre de contrats attendus sur 1000 demandes, ce qui relie les probabilités aux statistiques.
• Question 4 : Cette question aborde un point central du chapitre : l'inversion de l'arbre de probabilité. Sachant qu'une souscription a eu lieu, on cherche la probabilité qu'elle provienne d'un canal spécifique. Il faut donc calculer \(P_S(W) = \frac{P(W \cap S)}{P(S)}\) et \(P_S(A)\).
• Question 5 : Il s'agit d'une question d'analyse et de justification. En comparant les probabilités \(P(A \cap S)\) et \(P(W \cap S)\), on doit valider ou infirmer une affirmation du directeur commercial. Cela demande à la fois des calculs précis et une argumentation claire.
• Question 6 : Le calcul fait intervenir l'événement contraire \(\bar{S}\). On doit calculer \(P_{\bar{S}}(A)\), ce qui nécessite de calculer au préalable \(P(\bar{S})\) et \(P(A \cap \bar{S})\).
• Question 7 : C'est un problème inverse plus complexe. On fixe un objectif pour la probabilité totale de souscription (\(P(S) \geq 0.25\)) et on cherche la valeur minimale d'une des probabilités conditionnelles (\(P_W(S)\)) pour atteindre cet objectif. Cela se résout par la mise en place et la résolution d'une inéquation.

Exercice 2 : Le stage d'été d'une école de musique

Ce second exercice de 4 points change de format et présente les données dans un tableau à double entrée (ou tableau de contingence). Il s'agit de faire le lien entre cette représentation et celle de l'arbre pondéré. On étudie les adhérents d'une école de musique selon leur pratique (Instrument, Chant, MAO) et leur inscription à un stage d'été.

• Question 1 : La tâche est de passer du tableau à l'arbre. Il faut calculer les probabilités des événements primaires (ex: \(P(I) = 150/240\)) et les probabilités conditionnelles (ex: \(P_I(E) = 45/150\)) à partir des effectifs du tableau pour construire l'arbre.
• Question 2 : Une excellente question pour vérifier la compréhension. On doit calculer la probabilité totale \(P(E)\) de deux manières : une fois de façon simple en utilisant les totaux du tableau (\(87/240\)), et une seconde fois en appliquant la formule des probabilités totales sur l'arbre construit précédemment. Les deux résultats doivent évidemment coïncider.
• Question 3 : On termine par le calcul d'une probabilité conditionnelle "inverse" à l'aide des données du tableau : la proportion de chanteurs parmi les inscrits, soit \(P_E(C) = \frac{\text{Card}(E \cap C)}{\text{Card}(E)}\).

Exercice 3 : Ce que dit l'arbre, et ce qu'il ne dit pas (Vrai ou Faux)

Ce dernier exercice de 6 points est un QCM de type "Vrai/Faux" avec justification. Il est purement théorique et vise à déceler les erreurs de raisonnement classiques et à vérifier la maîtrise parfaite des définitions et formules du cours à partir d'un arbre donné.

• Affirmation 1 : Reconnaître la validité de la formule des probabilités totales pour n'importe quel événement \(E\) et une partition \(\{A, B, C\}\).
• Affirmation 2 : Appliquer numériquement la formule des probabilités totales pour calculer \(P(D)\) et vérifier si le résultat correspond à celui proposé.
• Affirmation 3 : Identifier l'erreur classique de confusion entre \(P_D(C)\) et \(P_C(D)\). La justification passe par le calcul de la vraie valeur de \(P_D(C)\) via la formule \(P_D(C) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)}\).
• Affirmation 4 : Tester l'indépendance de deux événements \(A\) et \(D\). Il faut rappeler la condition d'indépendance (\(P_A(D) = P(D)\) ou \(P(A \cap D) = P(A) \times P(D)\)) et vérifier si elle est remplie avec les données de l'arbre.

En conclusion, ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision sur les probabilités conditionnelles. Il balaye l'ensemble des compétences attendues en Terminale Technologique, de la construction et lecture d'arbres à la manipulation de tableaux, en passant par l'utilisation de la formule des probabilités totales et la notion d'indépendance.