Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale technologique, axé sur le chapitre des probabilités conditionnelles. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, cette épreuve évalue la maîtrise des concepts fondamentaux à travers trois exercices progressifs. Ce corrigé détaillé vous aidera à préparer vos examens en vous familiarisant avec les types de questions classiques : utilisation des arbres pondérés, application de la formule des probabilités totales et lecture de tableaux à double entrée.

Ce sujet est un excellent outil de révision pour tous les élèves de Terminale souhaitant renforcer leurs compétences en probabilités.

Exercice 1 : Proportions, évolutions et branches d'arbre

Cet exercice de 5 points est une série de questions courtes et directes visant à vérifier la compréhension des définitions et formules de base des probabilités conditionnelles. Chaque question teste un savoir-faire spécifique :

• Question 1 : Il s'agit de traduire un énoncé en probabilités pour calculer la probabilité d'une intersection. Si l'on note \(I\) l'événement "l'élève est interne" et \(M\) l'événement "l'élève rentre le mercredi soir", on nous donne \(P(I)=0,4\) et \(P_I(M)=0,25\). On cherche \(P(I \cap M)\), qui se calcule par la formule : \(P(I \cap M) = P(I) \times P_I(M)\).
• Question 2 : Cette question, bien que portant sur les pourcentages d'évolution, utilise une logique similaire. Une augmentation de 25% correspond à un coefficient multiplicateur de 1,25, et une baisse de 20% à un coefficient de 0,80. Le coefficient global est le produit des deux, permettant de retrouver le taux d'évolution final.
• Question 3 : Ici, la compétence évaluée est la lecture d'un tableau à double entrée (ou tableau de contingence). Il faut identifier l'univers restreint (les rendez-vous pris en ligne) et calculer la probabilité conditionnelle demandée : la probabilité que le rendez-vous ait lieu le matin SACHANT qu'il a été pris en ligne.
• Question 4 : C'est une application directe de la formule de la probabilité d'une intersection à partir d'une probabilité conditionnelle : \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\).
• Question 5 : Cette question combine deux concepts. D'abord, l'utilisation de la notion de partition de l'univers (\(E, F, K\)) pour déterminer la probabilité de l'événement manquant, \(P(K)\), car \(P(E)+P(F)+P(K)=1\). Ensuite, on applique la même formule que dans la question 4 pour trouver \(P(K \cap R)\).

Exercice 2 : Une branche inconnue dans une partition en trois

Cet exercice plus complexe, noté sur 8 points, guide l'élève pas à pas dans la résolution d'un problème complet de probabilités conditionnelles. Il met en jeu la construction et l'exploitation d'un arbre de probabilités.

• Question 1 : La première étape consiste à utiliser la propriété de la partition de l'univers pour calculer \(P(C)\), puis à construire un arbre pondéré qui modélise la situation. C'est une compétence essentielle du chapitre.
• Question 2 : On applique la règle du produit sur les branches de l'arbre pour calculer les probabilités des intersections \(P(A \cap D)\) et \(P(B \cap D)\).
• Question 3 : Le cœur du problème réside ici. Il faut mobiliser la formule des probabilités totales pour exprimer \(P(D)\) en fonction de l'inconnue \(x=P_C(D)\). L'énoncé donnant la valeur de \(P(D)\), on peut alors résoudre une petite équation pour trouver \(x\). \(P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) + P(C \cap D)\).
• Question 4 : Cette question aborde l'inversion de l'arbre de probabilités, une application classique du théorème de Bayes. On cherche à calculer \(P_D(C)\) en utilisant la formule : \(P_D(C) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)}\).
• Question 5 : On termine en travaillant avec l'événement contraire \(\bar{D}\), dont la probabilité se déduit facilement de celle de \(D\). On effectue ensuite une nouvelle inversion d'arbre pour calculer \(P_{\bar{D}}(A)\).

Exercice 3 : La journée de dépistage du diabète en pharmacie

Ce dernier exercice sur 7 points est une question ouverte, de type problème, où la démarche, la rédaction et l'interprétation des résultats sont valorisées. Il s'agit d'une mise en situation concrète des outils de probabilités conditionnelles.

Le problème demande d'évaluer la validité d'une affirmation d'un pharmacien. Pour cela, l'élève doit :

1. Modéliser la situation : Définir les événements pertinents (tranches d'âge, glycémie élevée) et construire un arbre de probabilités à partir des données fournies dans l'énoncé.
2. Calculer la probabilité totale : Utiliser la formule des probabilités totales pour calculer la proportion totale de participants avec une glycémie élevée, \(P(E)\).
3. Calculer une probabilité conditionnelle inverse : Pour vérifier l'affirmation du pharmacien ("plus de la moitié des glycémies élevées"), il faut calculer la probabilité d'appartenir à la tranche d'âge "65 ans ou plus" SACHANT que la personne a une glycémie élevée, soit \(P_E(C)\).
4. Confronter et interpréter : Comparer le résultat obtenu à la valeur de 0,5 pour conclure sur la véracité de l'affirmation. Cet exercice teste la capacité à mener un raisonnement probabiliste complet et à communiquer ses conclusions de manière claire.