Introduction
Allez les amis, on va voir comment très facilement transformer un tableau de probabilités en arbre de probabilité. Quand on vous donne un tableau de probabilités, ou que vous voulez le remplir vous-même, il faut que vous compreniez que toute histoire en probabilité a toujours deux manières d'être racontée.
Exemple
Prenons l'exemple d'un lycée avec des filles et des garçons qui étudient les maths et la physique. Quand je prends un élève, je peux d'abord me demander : est-ce que c'est une fille ou est-ce que c'est un garçon ? Et ensuite, une fois que je me suis posé cette question, je peux demander : est-ce qu'il fait des maths ou est-ce qu'il fait de la physique ? C'est le cas dans cet arbre.
Je prends un élève au hasard : est-ce que c'est une fille ou est-ce que c'est un garçon ? Parmi ceux qui sont des filles, lesquels font des maths, lesquels ne font pas de maths, donc lesquels font de la physique ? Et parmi ceux qui ne sont pas des filles, qui sont des garçons, lesquels font des maths, lesquels font de la physique ?
Remplissage de l'arbre de probabilité
Commençons avec la première question : je prends un élève, quelle est la probabilité que ce soit une fille ? Pour calculer ça, je vais prendre le total des filles, donc 100 élèves, divisé par le nombre total d'élèves, c'est-à-dire 220. Donc, la probabilité est \( \frac{100}{220} \).
Et quelle est la probabilité que ce ne soit pas une fille ? Là, je peux utiliser deux choses. Je peux utiliser soit le fait que \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \), autrement dit la probabilité que ce ne soit pas une fille est \( 1 - \frac{100}{220} \), mais je peux aussi simplement compter le nombre d'élèves qui ne sont pas des filles, c'est-à-dire les garçons. Il y en a 110, donc la probabilité est \( \frac{110}{220} \).
Si on additionne ces deux probabilités, on obtient \( \frac{100}{220} + \frac{110}{220} = 1 \), ce qui est correct car la somme des probabilités de tous les événements possibles doit toujours être égale à 1.
On continue de la même manière pour remplir le reste de l'arbre de probabilité, en calculant les probabilités conditionnelles pour chaque branche de l'arbre.
Conclusion
Et voilà, vous avez votre arbre de probabilité complété à partir d'un tableau de probabilités. Il faudra faire les simplifications évidemment. À vous de jouer maintenant, transformez des tableaux en arbres de probabilité.