Obtenez une analyse détaillée de ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale technologique. Ce devoir, d'une durée de 2 heures, est une excellente ressource pour réviser trois chapitres essentiels du programme : les probabilités conditionnelles, les statistiques à deux variables et la fonction logarithme. Idéal pour s'entraîner avant une évaluation, ce document vous guide à travers des exercices types qui mobilisent des compétences clés telles que la construction d'arbres pondérés, l'utilisation de la formule des probabilités totales, l'inversion d'arbre, et l'application des propriétés des logarithmes. Préparez-vous efficacement avec ce sujet complet.

Exercice 1 : Les formules d'un traiteur (Probabilités Conditionnelles)

Cet exercice est un grand classique sur les probabilités conditionnelles. Il met en scène un traiteur proposant différentes formules (Apéritif, Déjeuner, Dînatoire) avec une option "service en salle". Les questions s'enchaînent de manière progressive pour tester votre maîtrise des outils du chapitre.

• Partie A : Bilan de l'an dernier
  • Question 1 : La première étape consiste à modéliser la situation à l'aide d'un arbre de probabilités. Il faut correctement placer les événements A, D, N sur les premières branches avec leurs probabilités, puis les événements S et \(\bar{S}\) sur les secondes branches avec les probabilités conditionnelles données.
  • Question 2 : Calcul d'une probabilité d'intersection, \(P(N \cap S)\), en utilisant la formule du produit sur une branche de l'arbre.
  • Question 3 : Application de la formule des probabilités totales pour calculer \(P(S)\). Il s'agit d'additionner les probabilités de tous les chemins menant à l'événement S : \(P(S) = P(A \cap S) + P(D \cap S) + P(N \cap S)\).
  • Question 4 : Calcul d'une probabilité conditionnelle "inversée", \(P(N|S)\). On vous demande la probabilité que la commande soit "Dînatoire" sachant que le service en salle a été choisi. C'est une application directe de la formule : \(P(N|S) = \frac{P(N \cap S)}{P(S)}\).
  • Question 5 : Un calcul similaire est demandé pour \(P_{\bar{S}}(A)\), c'est-à-dire \(P(A|\bar{S})\).
• Partie B : Objectifs de l'année
  • Question 6 : On passe à une application concrète en calculant une recette espérée. L'espérance du nombre de services est \(E = n \times p = 300 \times P(S)\), qu'il faut ensuite multiplier par le prix du service.
  • Questions 7 et 8 : Ces questions testent votre capacité à analyser et comparer deux scénarios. Vous devez recalculer la probabilité \(P(S)\) en modifiant les données initiales selon les deux actions proposées, puis choisir la meilleure option pour atteindre un objectif et calculer la nouvelle recette attendue.

Exercice 2 : Retour sur les nuages et les logarithmes (QCM)

Ce QCM justifié évalue vos compétences sur la fonction logarithme et son application dans le cadre des statistiques à deux variables (ajustement affine par changement de variable). Chaque réponse doit être rigoureusement démontrée.

• Question 1 : Utilisation des propriétés algébriques du logarithme. On vous demande de calculer \(z_1 - z_2 = \log(y_1) - \log(y_2)\). Il faut se souvenir que cette différence est égale à \(\log(\frac{y_1}{y_2})\).
• Question 2 : Exploitation d'un modèle d'ajustement. Le modèle est \(\log(y) = 0,2x + 1\). Pour une valeur de \(x\) donnée, on calcule \(\log(y)\) puis on en déduit \(y\) en utilisant la fonction réciproque (\(y = 10^{\log(y)}\) pour le logarithme décimal).
• Question 3 : Il s'agit d'identifier un changement de variable qui permet de linéariser un nuage de points. Si les points vérifient \(y = \frac{4}{x} + 1\), en posant \(u = \frac{1}{x}\), l'équation devient \(y = 4u + 1\), qui est l'équation d'une droite.
• Question 4 : Calcul de la somme des carrés des écarts (ou résidus). Pour une droite d'équation \(y = 2x\) et une série de points \((x_i, y_i)\), on doit calculer la valeur de \(\sum (y_i - 2x_i)^2\). C'est une mesure de la qualité de l'ajustement.

Exercice 3 : Les urgences de l'hôpital

Cet exercice, basé sur deux documents, mêle lecture de données, probabilités conditionnelles et utilisation de tableaux d'effectifs (ou tableaux de contingence).

• Question 1 : La première tâche est de synthétiser toutes les informations en complétant un tableau à double entrée (Hospitalisés/Non hospitalisés vs. Ambulance/Propres moyens/Médecin). On calcule les effectifs de chaque case à partir du total (40 000 passages) et des pourcentages donnés.
• Question 2 : Lecture et calcul d'une probabilité à partir du tableau : la probabilité totale d'être hospitalisé, \(P(H)\).
• Question 3 : Vérification d'une affirmation journalistique. "Près d'un patient hospitalisé sur deux est arrivé en ambulance" se traduit mathématiquement par : \(P(\text{Ambulance} | \text{Hospitalisé}) \approx 0,5\). Il faut calculer cette probabilité conditionnelle à partir des effectifs du tableau et conclure.
• Question 4 : Calcul et interprétation de proportions parmi les hospitalisés, ce qui revient à calculer d'autres probabilités conditionnelles. L'objectif est de comparer la répartition des modes d'arrivée pour les patients hospitalisés par rapport à la population globale.
• Questions 5 et 6 : D'autres calculs de probabilités conditionnelles (\(P(H|\text{Ambulance})\) vs \(P(H|\text{Propres moyens})\) et \(P(\text{Propres moyens}|\bar{H})\)) pour évaluer des affirmations et analyser la situation en profondeur.

Exercice 4 : Les colis en retard (Analyse d'erreurs)

Cet exercice original vous demande d'adopter un regard critique sur les erreurs classiques en probabilités. En analysant la copie d'un élève, vous devez identifier, expliquer et corriger trois erreurs typiques.

• Extrait 1 : L'erreur porte sur l'application de la formule des probabilités totales. L'élève a oublié un terme dans la somme. Vous devez rappeler la formule complète et l'appliquer correctement.
• Extrait 2 : Confusion entre une probabilité conditionnelle et une probabilité d'intersection. L'élève confond \(P(R|T_3)\) (donnée dans l'énoncé, "15% des colis de T3 sont en retard") et \(P(T_3 \cap R)\). Vous devez expliquer la différence et calculer la bonne valeur de l'intersection.
• Extrait 3 : Confusion entre \(P(R|T_3)\) et son "inverse" \(P(T_3|R)\). L'énoncé donne une information sur les colis de T3, et la question implicite est sur les colis en retard. Vous devez expliquer l'erreur et calculer la probabilité correcte, \(P(T_3|R)\), en utilisant la définition des probabilités conditionnelles.