Découvrez le corrigé complet d'un contrôle de mathématiques de niveau Terminale technologique, axé sur les chapitres fondamentaux des suites arithmétiques et géométriques. Ce sujet, d'une durée d'une heure, évalue la capacité des élèves à manipuler les définitions, les formules et à appliquer leurs connaissances dans des contextes variés, allant du calcul pur à la résolution de problèmes concrets.

Ce document est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant s'entraîner et pour les enseignants à la recherche de supports pédagogiques. Chaque exercice est analysé en détail, mettant en lumière les méthodes de résolution et les pièges à éviter.

Exercice 1 : Maîtrise des formules de base

Cet exercice en deux parties teste directement les connaissances fondamentales sur les suites arithmétiques et géométriques.

• Partie 1 : Suite arithmétique. On étudie la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = 3n + 2 \).
  • a. La première question demande de prouver que la suite est arithmétique. La méthode consiste à calculer la différence \( u_{n+1} - u_n \) et à montrer qu'elle est constante. Ici, \( u_{n+1} - u_n = (3(n+1)+2) - (3n+2) = 3 \). La raison est donc \( r=3 \).
  • b. Il faut ensuite calculer la somme \( S = \sum_{k=10}^{29} u_k \). L'étape cruciale est de déterminer le nombre de termes, qui est de \( 29 - 10 + 1 = 20 \). La formule de la somme des termes d'une suite arithmétique est alors appliquée : \( S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme}) \). Il faut calculer \( u_{10} = 32 \) et \( u_{29} = 89 \), pour trouver \( S = \frac{20}{2} \times (32+89) = 1210 \).
• Partie 2 : Suite géométrique. On s'intéresse à la suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = 800 \times 0.75^n \).
  • a. Il s'agit d'identifier la nature de la suite (géométrique de raison \( q=0.75 \) et de premier terme \( v_0 = 800 \)), puis d'étudier son sens de variation. Comme \( v_0 > 0 \) et \( 0 < q < 1 \), la suite est strictement décroissante.
  • b. Le calcul de la somme \( T = v_0 + v_1 + \dots + v_9 \) nécessite l'utilisation de la formule \( S_n = v_0 \times \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \). Ici, avec 10 termes, on calcule \( T = 800 \times \frac{1-0.75^{10}}{1-0.75} \).
  • c. La dernière question aborde la notion de limite de la somme. Puisque \( |q| < 1 \), la somme des termes de la suite converge vers une limite finie \( S_{\infty} = \frac{v_0}{1-q} \). On calcule cette limite, \( S_{\infty} = \frac{800}{1-0.75} = 3200 \), et on justifie que la somme partielle reste toujours strictement inférieure à cette valeur.

Exercice 2 : L'analyse critique d'une copie

Cet exercice original et formateur demande d'analyser les réponses d'un élève fictif, Malo, afin d'identifier et de corriger ses erreurs. C'est un excellent moyen de tester la compréhension en profondeur des concepts.

• a. Moyenne géométrique : Malo confond la moyenne géométrique \( \sqrt{ab} \) avec la moyenne arithmétique \( \frac{a+b}{2} \). La bonne réponse est \( \sqrt{2 \times 18} = \sqrt{36} = 6 \).
• b. Modélisation d'une augmentation : Pour une augmentation de 4%, le coefficient multiplicateur est \( 1 + \frac{4}{100} = 1.04 \). Malo utilise 0.04 comme raison, ce qui correspond à une perte de 96%. La bonne formule est \( L_n = 650 \times 1.04^n \). En calculant \( L_1 \) avec sa formule, Malo aurait obtenu un loyer de 26€, une baisse absurde qui aurait dû l'alerter.
• c. Somme de termes d'une suite géométrique : Malo applique la bonne formule mais se trompe sur le premier terme de la somme. La somme commence à \( w_1 \), non à \( w_0 \). Le premier terme est donc \( w_1 = 5 \times 3^1 = 15 \). La somme correcte est \( S = 15 \times \frac{1-3^6}{1-3} \).
• d. Somme de termes d'une suite arithmétique : La réponse de Malo est juste. Il a correctement identifié la raison (4), le nombre de termes (20) et appliqué la formule de la somme. La question finale demande de transcrire cette somme avec le symbole Sigma : \( \sum_{k=0}^{19} (7+4k) \).

Exercice 3 : Résolution de problème et modélisation

Ce dernier exercice est une question ouverte qui évalue la capacité à modéliser une situation concrète à l'aide d'une suite arithmétique et à résoudre un problème d'optimisation sous contraintes.

Le contexte est celui d'une maison de santé qui augmente son nombre de téléconsultations chaque semaine d'un nombre entier fixe. On modélise la situation avec une suite arithmétique \( (u_n) \) de premier terme \( u_1=140 \) et de raison \( r \).

1. Trouver la hausse minimale : Pour obtenir une aide, le total des consultations sur 20 semaines doit être d'au moins 5000. On pose l'inéquation \( S_{20} \ge 5000 \), où \( S_{20} \) est la somme des 20 premiers termes. La résolution de \( \frac{20}{2}(u_1 + u_{20}) \ge 5000 \) mène à une condition sur la raison \( r \). On trouve que la hausse hebdomadaire minimale doit être de 12 consultations.
2. Respecter les contraintes : Il faut vérifier que cette augmentation n'entraîne pas un dépassement de la capacité maximale de 400 consultations par semaine pendant les 20 semaines. On calcule \( u_{20} = 140 + (20-1) \times 12 = 368 \), ce qui est inférieur à 400. La condition est donc respectée.
3. Durabilité du rythme : On cherche enfin jusqu'à quelle semaine ce rythme peut être maintenu. Il faut résoudre l'inéquation \( u_n \le 400 \), soit \( 140 + (n-1) \times 12 \le 400 \). On trouve que ce rythme est tenable jusqu'à la 22ème semaine incluse.

Ce sujet de contrôle corrigé sur les suites est un excellent outil pour réviser et maîtriser les compétences clés du programme de Terminale technologique.