Analyse du sujet de maths : Contrôle sur la fonction exponentielle

Ce sujet de maths de niveau Terminale technologique (STMG, STI2D) est un contrôle d'une heure portant exclusivement sur le chapitre de la fonction exponentielle. Il est conçu pour évaluer les compétences fondamentales à travers trois exercices variés, alliant technique, raisonnement et résolution de problème. Ce document est un excellent support pour réviser, avec une analyse détaillée des compétences requises. La calculatrice est autorisée, ce qui oriente le travail vers la modélisation et l'interprétation.

Exercice 1 : Trois fonctions, trois sens de variation

Cet exercice est une mise en jambe essentielle qui teste la maîtrise des bases de la fonction exponentielle, en particulier les règles de calcul et le sens de variation. Il se décompose en trois questions progressives.

• Question 1 : Sens de variation
  Il est demandé de déterminer, avec justification, le sens de variation des fonctions \(f(x) = 4 \times 0,7^x\), \(g(x) = -0,5 \times 1,2^x\) et \(h(x) = 3 \times 0,5^{-x}\). Cet item évalue directement la compétence "Étude de variation avec exponentielle". Les points clés sont :
  • La reconnaissance de la base \(a\) dans une fonction \(k \times a^x\). Si \(0 < a < 1\), la fonction de base est décroissante. Si \(a > 1\), elle est croissante.
  • L'impact du signe du coefficient \(k\) : un \(k\) négatif inverse le sens de variation.
  • La manipulation des exposants pour la fonction \(h(x)\) : il est impératif de savoir que \(0,5^{-x} = (1/0,5)^x = 2^x\), transformant une base inférieure à 1 en une base supérieure à 1.
• Question 2 : Modélisation d'une croissance
  Avec la fonction \(p(x) = 250 \times 1,04^x\), l'élève doit d'abord prouver algébriquement que \(p(x+1) = 1,04 \times p(x)\). Cette propriété illustre le lien entre la fonction exponentielle et les suites géométriques. La deuxième partie de la question, traduire le résultat en pourcentage, fait appel à des compétences sur les taux d'évolution : un coefficient multiplicateur de 1,04 correspond à une augmentation de 4%.
• Question 3 : Simplification d'expressions
  Cette question est un pur test de la compétence "Simplifier une expression avec exponentielle". Il faut appliquer les règles de calcul sur les puissances pour réduire \(A(x) = 2^{3x} \times 2^{-x}\) et \(B(x) = \frac{25^x}{5^x}\) à la forme \(a^x\). Pour \(A(x)\), on utilise \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) et \((a^m)^n = a^{mn}\). Pour \(B(x)\), on utilise \(\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m\).

Exercice 2 : La copie d'Adam

Cet exercice original et très pertinent sur le plan pédagogique demande d'analyser et de corriger les erreurs d'un élève fictif. C'est un excellent moyen de déconstruire les idées fausses et de renforcer la rigueur du raisonnement.

• Les quatre réponses d'Adam balayent les erreurs les plus communes :
  1. Puissance négative : \(5^{-2} = -25\) est faux. L'erreur est de confondre l'inverse (\(1/5^2\)) avec l'opposé.
  2. Puissance non entière : \(9^{0,5} = 4,5\) est faux. L'erreur est de confondre la puissance avec une multiplication. La bonne réponse est \(\sqrt{9}\).
  3. Produit de puissances : Adam commet une erreur dans le calcul de \((1,2)^3 \times 1,2^{2x}\), montrant une mauvaise maîtrise de la priorité des opérations et des règles de calcul.
  4. Comparaison et variation : Conclure que \(0,8^{2,5} < 0,8^3\) car \(2,5 < 3\) est une erreur classique. Elle révèle une méconnaissance du fait que la fonction \(x \mapsto 0,8^x\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
• La suite de l'exercice guide l'élève vers la bonne justification, en lui faisant prouver que \((9^{0,5})^2 = 9\) pour en déduire la valeur de \(9^{0,5}\), et en posant la même question de comparaison avec une base \(1,8 > 1\) pour s'assurer que le rôle de la base est bien compris.

Exercice 3 : Problème d'application

Ce dernier exercice, une question ouverte, est le plus complet. Il plonge l'élève dans un contexte d'hospitalisation à domicile et lui demande d'exercer son esprit critique sur des affirmations chiffrées. C'est l'application directe des mathématiques pour analyser des données réelles.

La résolution de ce problème fait appel à un enchaînement de compétences :

1. Analyse de l'évolution globale : Pour valider "près de 69% de progression", il faut appliquer la formule du taux d'évolution : \(\frac{\text{Valeur Finale} - \text{Valeur Initiale}}{\text{Valeur Initiale}}\).
2. Calcul du taux annuel moyen : L'affirmation "plus de 11% par an" est fausse. Pour le prouver, il faut calculer le taux d'évolution réciproque. On calcule le coefficient multiplicateur global \(CM = V_f / V_i\) sur 6 ans, puis on en déduit le coefficient annuel moyen \(cm = CM^{1/6}\). Le taux annuel est alors \(t = cm - 1\).
3. Projection et modélisation : Pour évaluer l'affirmation sur 2028 et répondre à la question finale, il faut créer un modèle exponentiel \(P(n) = P_0 \times (cm)^n\), où \(n\) est le nombre d'années écoulées depuis 2019.
4. Résolution d'inéquation : Trouver l'année où le cap des 4200 patients sera franchi revient à résoudre l'inéquation \(P(n) > 4200\). En Terminale technologique, cette résolution se fait typiquement à l'aide de la fonction "Table" de la calculatrice pour trouver le premier entier \(n\) qui satisfait la condition.

Ce contrôle corrigé sur la fonction exponentielle est donc un outil de révision complet, balayant les compétences calculatoires, l'analyse de raisonnement et la modélisation de problèmes concrets.