Ce contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale STI2D est une excellente ressource pour s'entraîner sur les chapitres des statistiques à deux variables et de la fonction logarithme. D'une durée de 2 heures, ce sujet, avec calculatrice autorisée, est structuré en trois exercices conçus pour évaluer la compréhension des concepts et la capacité à les appliquer dans des contextes concrets. Ce document est un support idéal pour la préparation au baccalauréat STI2D.

Exercice 1 : Ce qu'un ajustement garantit, ou non (vrai ou faux) (4 points)

Cet exercice de type Vrai/Faux teste les connaissances théoriques fondamentales sur l'ajustement affine et la régression linéaire. Chaque affirmation requiert une justification précise, s'appuyant sur une propriété du cours, un calcul ou un contre-exemple. Les thèmes abordés sont :

• Question 1 : La propriété du point moyen \(G(\bar{x} ; \bar{y})\), qui appartient toujours à la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés (affirmation vraie, et contrôle le plus rapide d'un ajustement).
• Question 2 : La nature même de l'ajustement affine : une droite est toujours calculable, même lorsque les points ne sont pas alignés. La vraie question n'est pas de savoir s'il est possible, mais s'il est pertinent (affirmation fausse).
• Question 3 : L'utilité du changement de variable, comme \(z = \log(y)\) ou \(u = x^2\), pour se ramener à une relation affine entre deux nouvelles variables. C'est une technique centrale en modélisation, mise en œuvre dans les deux exercices suivants (affirmation vraie).
• Question 4 : Les limites de la modélisation, en particulier l'extrapolation, dont la fiabilité diminue à mesure que l'on s'éloigne de l'intervalle des données mesurées (affirmation fausse, illustrée par le contre-exemple d'un ressort sorti de son domaine élastique).

Exercice 2 : Le vieillissement d'une LED de signalisation (9 points)

Cet exercice complet est un problème concret mobilisant à la fois les statistiques et la fonction logarithme. Il s'agit de modéliser l'évolution du flux lumineux \(y\) d'une LED, en lumens, en fonction de sa durée de fonctionnement \(t\), en milliers d'heures. Les neuf questions s'enchaînent sans parties, du constat sur les données jusqu'à l'exploitation du modèle.

• Questions 1 à 3 : On calcule d'abord les écarts successifs (\(-13\), \(-11\), \(-10\), \(-9\)) : ils ne sont pas constants, ce qui écarte une évolution affine. Les quotients successifs \(\frac{y_{i+1}}{y_i}\) valent en revanche environ \(0{,}870\), \(0{,}874\), \(0{,}868\) et \(0{,}864\) : ils sont sensiblement constants, signe d'une évolution exponentielle. Un ajustement affine prédirait même un flux négatif au-delà d'une certaine durée.
• Questions 4 et 5 : On pose la nouvelle variable \(z = \log(y)\), où \(\log\) est le logarithme décimal, et l'on complète le tableau des valeurs de \(z\) (de \(2{,}0000\) à \(1{,}7559\)). Le nuage \((t ; z)\) est sensiblement aligné, et la calculatrice donne la droite des moindres carrés \(z = -0{,}01216t + 2{,}0008\).
• Question 6 : La question clé est de revenir au modèle initial. À partir du modèle arrondi \(z = 2 - 0{,}0122t\) et de la relation \(\log(y) = z \iff y = 10^z\), on obtient \(y = 100 \times 10^{-0{,}0122t}\).
• Question 7 : La qualité du modèle est vérifiée en \(t = 10\) : il prévoit environ \(75{,}5\) lumens pour une mesure de 76 lumens, soit un écart inférieur à 1 %.
• Question 8 : Le fabricant garantit la LED tant que son flux reste supérieur à 70 % du flux initial. On résout \(100 \times 10^{-0{,}0122t} = 70\) à l'aide du logarithme décimal : \(t = \frac{\log(0{,}7)}{-0{,}0122} \approx 12{,}70\) milliers d'heures, soit environ 12 700 heures de fonctionnement garanti.
• Question 9 : On calcule enfin la durée \(d\) au bout de laquelle le flux tombe à 50 lumens : \(d = \frac{\log(2)}{0{,}0122} \approx 24{,}67\) milliers d'heures. On démontre ensuite que, pour tout instant \(t_0\), le flux à l'instant \(t_0 + d\) est la moitié du flux à l'instant \(t_0\) : la durée de division par deux ne dépend pas du flux de départ, propriété fondamentale de la décroissance exponentielle, la même que la demi-vie d'une source radioactive.

Exercice 3 : La traînée d'une maquette en soufflerie (7 points)

Ce dernier exercice met en œuvre un changement de variable dans un contexte de mécanique des fluides. On mesure la force de traînée \(F\), en newtons, exercée par l'air sur une maquette de véhicule utilitaire, pour des vitesses \(v\) de l'air allant de 10 à 30 m/s.

• Questions 1 et 2 : L'ajustement affine de \(F\) en \(v\) par la méthode des moindres carrés donne \(F = 1{,}20v - 10{,}48\). Pour \(v = 5\) m/s, il prévoit une traînée de \(-4{,}48\) N, résultat inacceptable puisqu'une traînée ne peut pas être négative : le nuage est courbé, et la droite le décrit mal.
• Question 3 : On pose \(u = v^2\) et l'on ajuste \(F\) en fonction de \(u\) : on obtient \(F = 0{,}0300u + 0{,}01\). L'ordonnée à l'origine est pratiquement nulle, ce qui est cohérent : sans vent, pas de traînée.
• Question 4 : Avec le modèle retenu \(F = 0{,}03v^2\), la traînée à 5 m/s vaut \(0{,}75\) N, une valeur positive et petite, bien plus vraisemblable que celle de l'ajustement affine.
• Question 5 : Par identification avec la formule physique \(F = \frac{1}{2} \rho S C_x v^2\), on obtient le coefficient de traînée \(C_x = \frac{0{,}06}{1{,}2 \times 0{,}16} \approx 0{,}31\), un ordre de grandeur réaliste pour un véhicule utilitaire.
• Question 6 : À 40 m/s, l'ajustement affine prévoit \(37{,}52\) N et le modèle en \(v^2\) prévoit 48 N. Le second est le plus crédible, mais une réserve s'impose : 40 m/s sort du domaine des mesures, et seule une mesure à cette vitesse confirmerait l'extrapolation.