Contrôle Corrigé de Mathématiques : Composition de Fonctions (Terminale STI2D)

Découvrez le corrigé détaillé d'un sujet de contrôle de mathématiques pour les élèves de Terminale STI2D. Ce devoir porte sur le chapitre crucial de la composition de fonctions et sa dérivation. Il s'agit d'une ressource pédagogique complète pour s'entraîner et maîtriser les compétences clés relatives à l'étude de fonctions, la dérivation en chaîne, et la résolution de problèmes concrets. Ce contrôle, d'une durée d'1h30, est un excellent outil de révision pour le baccalauréat.

Exercice 1 : La sonde à effet Hall d'une porte coupe-feu (8 points)

Ce premier exercice est un problème de modélisation complet, typique de ce qui peut être attendu en Terminale STI2D. Pour savoir si une porte coupe-feu est bien fermée, une sonde à effet Hall mesure le champ magnétique créé par un aimant fixé sur le battant. Lorsque le battant est à \(x\) millimètres de sa position fermée, le champ, en millitesla, est modélisé par \(B(x) = \frac{2\,000}{(x+5)^3}\) sur \([0; 50]\).

• Question 1 : Des calculs d'images simples pour s'approprier la fonction : \(B(0) = 16\) mT, \(B(5) = 2\) mT et \(B(15) = 0{,}25\) mT. En s'éloignant de 15 mm, le battant divise le champ par 64.
• Question 2 : Le cœur du problème : en réécrivant \(B(x) = 2\,000 \times (x+5)^{-3}\), il faut identifier les fonctions \(u(x) = x + 5\) et \(v(X) = X^{-3}\), puis appliquer la formule de dérivation d'une composée pour obtenir \(B'(x) = -\frac{6\,000}{(x+5)^4}\).
• Question 3 : L'étude du signe de la dérivée montre que \(B\) est strictement décroissante sur \([0; 50]\) : plus le battant s'éloigne, plus le champ mesuré est faible.
• Question 4 : La sonde signale « porte fermée » dès que le champ atteint 2 mT. Comme \(B(5) = 2\) et que \(B\) est décroissante, la porte est signalée fermée pour \(x \in [0; 5]\).
• Question 5 : On cherche, à la calculatrice, la distance au-delà de laquelle le champ passe sous 1 mT. Avec \(B(7{,}59) \approx 1{,}002\) et \(B(7{,}60) \approx 0{,}9998\), on obtient environ 7,60 mm. Entre 5 et 7,60 mm, la sonde ne change pas d'état : cette zone empêche le signal de clignoter.
• Question 6 : Cette question demande de calculer la sensibilité \(|B'(x)|\) et surtout de l'interpréter. On trouve \(0{,}6\) mT/mm pour \(x = 5\) et environ \(0{,}12\) mT/mm pour \(x = 10\) : près de l'aimant, le champ varie cinq fois plus vite, ce qui justifie d'y placer le seuil de détection.

Exercice 2 : Une table vibrante, deux documents (7 points)

Ce deuxième exercice met en application la dérivation des fonctions trigonométriques composées dans un contexte industriel. Une usine de préfabrication compacte le béton sur une table vibrante, et l'élève doit croiser deux documents : un extrait de notice, selon lequel la position du plateau est \(x(t) = A\sin(300t)\) avec une amplitude réglable de 0,3 à 0,6 mm, et une note du chef d'équipe qui veut commander une table neuve parce que le béton fibré exige une vitesse d'au moins 150 mm/s.

• Question 1 : Une conversion d'unités : 2 860 tours par minute correspondent à environ 299,5 rad/s, soit 300 rad/s à la dizaine près, ce qui explique le coefficient de la notice.
• Question 2 : Avec le réglage d'usine, on dérive \(x(t) = 0{,}4\sin(300t)\) pour obtenir la vitesse \(x'(t) = 120\cos(300t)\). Comme un cosinus est compris entre \(-1\) et \(1\), la vitesse maximale est de 120 mm/s : on retrouve le chiffre du chef d'équipe.
• Question 3 : En s'appuyant sur le cercle trigonométrique, on montre que la vitesse est maximale en valeur absolue lorsque \(\sin(300t) = 0\), c'est-à-dire quand le plateau passe par sa position d'équilibre.
• Question 4 : Pour une amplitude quelconque, la vitesse maximale vaut \(300A\) mm/s.
• Question 5 : Une question de synthèse rédigée. Il faut \(300A \geq 150\), soit \(A \geq 0{,}5\) mm, et la notice autorise jusqu'à 0,6 mm, soit 180 mm/s. La conclusion du chef d'équipe n'est pas justifiée : un simple réglage des masselottes suffit, inutile de commander une table neuve.

Exercice 3 : La copie d'un élève (5 points)

Cet exercice original et formateur propose d'analyser le travail d'un élève, de repérer une erreur classique de dérivation et de mener à bien l'étude de fonction de manière correcte. La fonction étudiée est \(f(x) = (x^2 - 4x + 7)^3\).

• Question 1 : L'objectif est de montrer que la conclusion de l'élève ("f est croissante sur \(\mathbb{R}\)") est fausse, non pas en refaisant l'étude, mais en trouvant un contre-exemple simple par le calcul de deux images : \(f(0) = 343\) et \(f(2) = 27\).
• Question 2 : Il faut identifier précisément l'erreur commise par l'élève : l'oubli du facteur \(u'\) dans la dérivation de \(u^3\). On donne ensuite l'expression correcte de la dérivée \(f'(x) = 3(2x-4)(x^2-4x+7)^2\), soit \(6(x-2)(x^2-4x+7)^2\).
• Question 3 : Une étape clé pour l'étude de signe. Il est demandé de montrer que le trinôme \(x^2 - 4x + 7\) est toujours strictement positif. L'énoncé suggère d'étudier les variations de la fonction \(w(x) = x^2 - 4x + 7\) : sa dérivée \(w'(x) = 2x - 4\) montre qu'elle admet un minimum \(w(2) = 3\), strictement positif.
• Question 4 : Armé de la dérivée correcte et du signe de chaque facteur, il est maintenant possible d'étudier le signe de \(f'(x)\), qui est celui de \(x - 2\), et d'en déduire le tableau de variations complet et exact de la fonction \(f\) : décroissante puis croissante, avec un minimum \(f(2) = 27\).