Analyse du Contrôle de Mathématiques sur la Fonction Logarithme (Terminale STI2D)

Ce document présente un sujet de contrôle complet sur le chapitre de la fonction logarithme, spécialement conçu pour les élèves de Terminale STI2D. D'une durée d'une heure et trente minutes, ce sujet de maths, avec calculatrice autorisée, balaye les compétences essentielles du programme. Il constitue une excellente ressource pour la préparation aux examens, en proposant un QCM, une analyse d'erreur et un problème concret. Retrouvez ci-dessous une analyse détaillée de chaque exercice de ce contrôle corrigé.

Exercice 1 : QCM (6 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples qui évalue la maîtrise des concepts de base liés aux fonctions logarithme et exponentielle. Chaque réponse doit être justifiée, ce qui pousse l'élève à ne pas répondre au hasard mais à poser un raisonnement clair.

• Question 1 : Il s'agit de résoudre l'inéquation \( e^{-0,2x} < 0,1 \). Cette question teste la capacité à manipuler les inégalités impliquant la fonction exponentielle. La méthode de résolution consiste à appliquer la fonction logarithme népérien, qui est la fonction réciproque de l'exponentielle, pour isoler l'inconnue \( x \). Une attention particulière doit être portée au sens de l'inégalité lors des opérations.
• Question 2 : La tâche est de déterminer la dérivée de la fonction \( g(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) définie sur \( ]0; +\infty[ \). Cette question est une application directe des formules de dérivation. L'élève doit reconnaître la structure d'un quotient de fonctions \( \frac{u(x)}{v(x)} \) et appliquer la formule correspondante : \( g'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \), tout en connaissant la dérivée de la fonction \( \ln(x) \), qui est \( \frac{1}{x} \).
• Question 3 : Il est demandé de calculer la valeur exacte de l'expression \( \ln(e^4) - \ln(e^2) \). Cette question vise à vérifier la connaissance des propriétés algébriques fondamentales de la fonction logarithme. L'élève doit mobiliser la relation \( \ln(e^a) = a \) et la propriété \( \ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b}) \) pour simplifier l'expression et trouver le résultat.

Exercice 2 : La copie d'un élève (4 points)

Cet exercice, très formateur, met l'élève dans une posture d'analyse critique en lui présentant la résolution erronée d'une équation logarithmique. L'objectif est d'identifier, de corriger et d'expliquer l'erreur, renforçant ainsi la compréhension des concepts.

• Question 1 : L'élève doit identifier la fausse propriété utilisée, à savoir \( \ln(x) + \ln(y) = \ln(x+y) \). C'est une erreur classique. Il faut rappeler la propriété correcte : \( \ln(x) + \ln(y) = \ln(xy) \).
• Question 2 : Une simple vérification par le calcul est demandée pour voir si \( x=3,5 \) est solution de l'équation initiale \( \ln(x) + \ln(x + 3) = \ln(10) \). Cela permet de s'assurer de la non-validité du résultat trouvé par l'élève fictif.
• Question 3 : C'est le cœur de l'exercice. Il faut résoudre correctement l'équation. La démarche rigoureuse est la suivante :
  1. Déterminer l'ensemble de définition de l'équation, en posant les conditions d'existence des logarithmes : \( x > 0 \) et \( x+3 > 0 \), ce qui donne \( x \in ]0; +\infty[ \).
  2. Appliquer la bonne propriété pour transformer l'équation en \( \ln(x(x+3)) = \ln(10) \).
  3. Utiliser le fait que la fonction \( \ln \) est bijective pour obtenir \( x(x+3) = 10 \).
  4. Résoudre l'équation du second degré \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) et ne conserver que la ou les solutions appartenant à l'ensemble de définition.
• Question 4 : Une question de synthèse pour s'assurer que la différence conceptuelle entre \( \ln(a)+\ln(b) \) et \( \ln(a+b) \) est bien acquise.

Exercice 3 : Le niveau sonore d'un atelier (10 points)

Ce problème concret et complet est une application de la fonction logarithme décimal dans le domaine de l'acoustique. Il permet de donner du sens à cette fonction en l'utilisant pour modéliser le niveau sonore en décibels (dB) avec la formule \( L = 10 \log(\frac{I}{I_0}) \).

• Questions 1 et 2 : Des calculs directs pour se familiariser avec la formule et comprendre la notion de seuil d'audition (\( I = I_0 \)) et calculer un niveau sonore pour une intensité donnée.
• Question 3 : L'exercice inverse : on donne un niveau sonore (85 dB) et il faut retrouver l'intensité acoustique \( I \) correspondante. Cela requiert de savoir résoudre une équation où l'inconnue est dans le logarithme, en utilisant la fonction réciproque (la puissance de 10).
• Questions 4 et 5 : Ces questions explorent la nature non linéaire de l'échelle des décibels. On montre que doubler l'intensité sonore ne double pas le niveau en dB mais l'augmente d'une valeur fixe (\( 10\log(2) \)), et que la multiplier par 10 l'augmente de 10 dB. Cela repose sur une utilisation fine de la propriété \( \log(ab) = \log(a) + \log(b) \).
• Question 6 : Une question de discussion qui demande à l'élève de synthétiser ses résultats pour invalider une affirmation intuitive mais fausse. C'est une excellente évaluation de la capacité à interpréter des résultats mathématiques dans un contexte physique.