Analyse complète du contrôle sur les probabilités et la loi binomiale (Terminale Spécialité)

Ce sujet de maths pour la Terminale spécialité est une évaluation complète sur le chapitre des probabilités, avec un focus particulier sur la loi binomiale. Le contrôle, d'une durée d'une heure, est structuré en deux exercices distincts qui permettent de balayer un large spectre de compétences : construction d'arbres pondérés, calcul de probabilités conditionnelles, application de la formule des probabilités totales, et bien sûr, la reconnaissance et l'utilisation de la loi binomiale dans des contextes variés. Ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision.

Exercice 1 : Gestion hôtelière et surréservation

Cet exercice met en scène une situation concrète de gestion des réservations dans un hôtel. Il permet d'évaluer la capacité à modéliser un problème à l'aide des outils de probabilités.

• Question 1 : La première étape consiste à traduire l'énoncé en un arbre de probabilité. On y représente les deux modes de réservation (Téléphone `T`, Internet `I`) et l'événement "le client se présente à l'hôtel" (`H`). Il faut ensuite appliquer la formule des probabilités totales pour démontrer que la probabilité qu'un client se présente, `P(H)`, est égale à `0,912`. Le calcul est : `P(H) = P(H ∩ T) + P(H ∩ I) = P(T) × P_T(H) + P(I) × P_I(H)`.
• Question 2 : Cette question aborde les probabilités conditionnelles. On demande de calculer la probabilité qu'un client ait réservé par internet sachant qu'il est présent à l'hôtel, soit `P_H(I)`. Cela nécessite l'utilisation de la formule `P_H(I) = P(H ∩ I) / P(H)`.
• Question 3 : L'exercice bascule vers la loi binomiale. En considérant `n=107` réservations, on définit une variable aléatoire `X` qui compte le nombre de clients se présentant. Il faut justifier que `X` suit une loi binomiale en vérifiant les conditions : répétition de `n` épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec une probabilité de succès `p = P(H) = 0,912`.
• Question 4 : Application directe de la loi binomiale. On demande de calculer `P(X = 107)`, c'est-à-dire la probabilité que tous les clients se présentent. L'usage de la calculatrice est indispensable ici.
• Question 5 : Il s'agit de calculer la probabilité d'un événement de type "supérieur ou égal à". On cherche la probabilité de surréservation, soit `P(X ≥ 101)`. Cette probabilité se calcule souvent en passant par l'événement contraire : `1 - P(X ≤ 100)`.
• Question 6 : C'est un problème de seuil, une application classique et plus complexe de la loi binomiale. Il faut déterminer le nombre maximal de réservations `n` tel que la probabilité d'accueillir tous les clients qui se présentent (c'est-à-dire `X ≤ 100`) soit d'au moins 99%. On doit donc trouver le plus grand `n` tel que `P(X ≤ 100) ≥ 0,99` avec `X` suivant `B(n, 0.912)`.

Exercice 2 : Enquête sur les transports en commun

Ce second exercice est divisé en deux parties. La première partie est axée sur les probabilités conditionnelles et les arbres, tandis que la seconde se concentre à nouveau sur la loi binomiale.

Partie A

Cette partie s'appuie sur des données statistiques pour évaluer la maîtrise des probabilités conditionnelles.

• Questions 1 et 2 : On commence classiquement par la construction d'un arbre pondéré à partir des données de l'énoncé sur les utilisateurs réguliers de transports (`R`) et les jeunes (`J`), puis on calcule la probabilité de l'intersection `P(R ∩ J)`.
• Question 3 : Une question qui demande de combiner les informations pour calculer la probabilité d'un événement composite : être un jeune n'utilisant pas les transports, soit `P(J ∩ R̄)`.
• Questions 4 et 5 : Ces deux questions sont des applications directes du calcul de probabilités conditionnelles dans des contextes légèrement différents. On calcule `P(J | R̄)` (la proportion de jeunes parmi les non-utilisateurs) et `P(R̄ | J̄)` (la probabilité de ne pas utiliser les transports sachant qu'on n'est pas jeune).

Partie B

On modélise l'interrogation de 80 personnes par un tirage avec remise, ce qui nous ramène à un schéma de Bernoulli.

• Question 1 : Il s'agit de justifier que la variable aléatoire `X`, qui compte le nombre d'utilisateurs réguliers parmi 80 personnes, suit une loi binomiale. On précise ses paramètres `n=80` et `p=0,17`.
• Questions 2 et 3 : Calculs de probabilités ponctuelles avec la loi binomiale : `P(X = 5)` et `P(X = 75)`. La seconde probabilité sera extrêmement faible, proche de zéro.
• Question 4 : On doit valider ou infirmer une affirmation en calculant une probabilité cumulée. Il faut calculer `P(X < 26)`, soit `P(X ≤ 25)`, et vérifier si ce résultat est supérieur à 0,95.
• Question 5 : La dernière question porte sur le calcul et l'interprétation de l'espérance mathématique de la variable aléatoire `X`. On calcule `E(X) = n × p` pour trouver le nombre moyen d'utilisateurs réguliers que l'on peut s'attendre à trouver dans un échantillon de 80 personnes.