10. Tableau de variations avec la fonction racine

Introduction

Allez mes petits terminales, on est parti pour voir la dernière de ces vidéos sur les tableaux de variation. Comment faire un tableau de variation avec une fonction racine ? On se fait ça tout de suite. Pour faire un tableau de variation, il y a 3 étapes que vous connaissez par cœur : je dérive, je regarde le signe de la dérivée (quand la dérivée est positive, ça monte ; quand elle est négative, ça descend), on fait un petit tableau, on met les limites et voilà, on a terminé.

Exemple de fonction racine

Ici, on a une fonction racine. Je vous ai mis un petit nombre avant, comme d'habitude, parce que moi j'aime bien ça. Souvent, ça panique les gens de faire ça. Quand vous avez un nombre devant, vous cherchez la dérivée, vous ne touchez pas ce nombre. Si c'était \(2 + \sqrt{x^2 + 5}\), vous auriez fait sauter le 2, mais vu que c'est deux fois, vous le laissez et ça vous fait deux fois la dérivée de \(\sqrt{x^2 + 5}\). Sauf que vous la connaissez, \(\sqrt{u(x)}\). Et oui, ça c'est la racine d'une fonction. Pour dériver \(\sqrt{u(x)}\), c'est \(u'(x) / (2\sqrt{u(x)})\). Donc ça, mon \(u(x) = x^2 + 5\), je le dérive et je le divise par \(2\sqrt{u(x)}\). La dérivée de \(x^2 + 5\) est \(2x\), et je divise ça par \(2\sqrt{u(x)}\), donc par \(2\sqrt{x^2 + 5}\), et c'est terminé. J'aurais donc \(2x / \sqrt{x^2 + 5}\).

Étude du signe de la dérivée

Comment je fais pour étudier le signe de ça ? C'est quelque chose divisé par quelque chose, donc je vais faire une ligne avec le numérateur \(2x\), une ligne avec le dénominateur \(\sqrt{x^2 + 5}\), une ligne avec \(f'(x)\) et une ligne avec \(f(x)\). On l'étudie sur \(\mathbb{R}\), donc de \(-\infty\) à \(+\infty\). \(2x\) a le même signe que \(x\) parce que 2 est positif, donc elle s'annule en zéro. La fonction racine donne toujours un résultat positif, sauf dans le cas où elle vaut 0, quand ce qui est à l'intérieur vaut 0. Sauf que regardez, vous avez \(5 + x^2\), comment vous voulez arriver à zéro en faisant 5 et en y ajoutant \(x^2\) ? C'est impossible, donc ce machin sera toujours positif. Du coup, \(f'(x)\) est négatif pour \(x < 0\), nul pour \(x = 0\) et positif pour \(x > 0\). Ce qui fait que ma fonction \(f\) est décroissante puis croissante.

Conclusion

Et vu que je suis en terminale, je ne laisse pas un tableau comme ça, je vais m'expliquer ici ce qui est ici, autrement dit les deux limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\) qui sont égales et qui valent \(+\infty\). Pourquoi ? Parce que \(x^2\) tend vers \(+\infty\), donc \(\sqrt{x^2 + 5}\) tend vers \(+\infty\), donc \(2\sqrt{x^2 + 5}\) tend vers \(+\infty\). Ici, il me reste plus qu'à mettre la valeur de \(f(x)\) quand \(x\) vaut 0, donc je prends ça, je remplace \(x\) par 0, \(2\sqrt{0 + 5}\) ça me fait \(2\sqrt{5}\). Et voilà, c'est terminé, vous avez fait votre petit tableau, il est complet. Il ne reste plus qu'à faire les exercices en dessous. À vous de jouer, vous êtes des champions !