Ce sujet de contrôle pour la Terminale en spécialité Maths Complémentaires est une évaluation complète sur le chapitre de l'intégration. Il aborde des notions essentielles telles que le calcul d'intégrales à l'aide de primitives, la détermination et l'interprétation de la valeur moyenne d'une fonction, l'estimation graphique d'une aire, ainsi que la méthode des rectangles pour l'approximation numérique. Les exercices s'appuient principalement sur des fonctions exponentielles, en lien avec des situations concrètes comme l'étude d'une concentration, et incluent également des aspects algorithmiques avec Python. Ce corrigé détaillé vous permettra de maîtriser toutes les facettes de ce chapitre crucial.

Exercice 1 : Étude d'une concentration en nitrates (5,5 points)

Cet exercice de mise en situation étudie la concentration en nitrates dans une nappe phréatique, modélisée par la fonction exponentielle \( f(t) = 46 - 12e^{-0,05t} \) sur l'intervalle \( [0; 40] \). Il permet de valider de nombreuses compétences liées à l'analyse de fonction et à l'intégration.

• Lecture graphique et interprétation : La première question consiste à lire graphiquement des valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle, \( f(0) \) et \( f(40) \), et à interpréter la valeur initiale \( f(0) \) dans le contexte de la concentration en 1980.
• Étude de variations : Il est demandé de calculer la dérivée \( f'(t) \) de la fonction, impliquant la dérivation d'une fonction composée avec exponentielle, pour ensuite prouver que la fonction \( f \) est croissante sur \( [0; 40] \). Cette monotonie est utilisée pour justifier l'inégalité \( 34 < m \le f(40) \) où \( m \) est la valeur moyenne.
• Estimation d'intégrale : Une estimation graphique de l'intégrale \( I = \int_{0}^{40} f(t) dt \) est requise, en utilisant le quadrillage pour approximer l'aire sous la courbe.
• Primitives et calcul d'intégrale : La question 4 guide vers le calcul exact de \( I \). Il faut d'abord démontrer que la fonction \( F(t) = 46t + 240e^{-0,05t} \) est bien une primitive de \( f \), puis utiliser le théorème fondamental de l'analyse pour calculer \( I = F(40) - F(0) \).
• Valeur moyenne : La dernière question porte sur le calcul explicite de la valeur moyenne \( m = \frac{1}{40-0} \int_{0}^{40} f(t) dt \). Le résultat doit être interprété pour déterminer si, en moyenne, l'eau est restée potable sur la période étudiée.

Exercice 2 : Méthode des rectangles (8 points)

Cet exercice très complet explore l'approximation de l'intégrale \( I = \int_{0}^{1} x e^x dx \) par la méthode des rectangles, avant d'en trouver la valeur exacte. Il fait le lien entre l'analyse, le calcul numérique et l'algorithmique.

• Calcul d'approximation : La première question demande de calculer la somme des aires des rectangles \( R_4 \) pour une subdivision de l'intervalle \( [0; 1] \) en 4, en utilisant l'extrémité gauche de chaque sous-intervalle.
• Inégalité et sens de variation : Il faut montrer que la fonction \( g(x) = xe^x \) est croissante en étudiant le signe de sa dérivée \( g'(x) \). Cette propriété permet de justifier l'inégalité \( R_n \le I \), montrant que la méthode des rectangles à gauche minore l'intégrale d'une fonction croissante.
• Algorithmique Python : Une fonction Python calculant \( R_n \) est à compléter, mobilisant des compétences en programmation (boucles, variables).
• Conjecture de limite : À partir des valeurs de \( R_n \) pour \( n \) grand, il faut émettre une conjecture sur la valeur exacte de \( I \).
• Encadrement d'intégrale : L'exercice propose de modifier l'algorithme pour utiliser l'extrémité droite des intervalles. La comparaison des résultats des deux méthodes permet de justifier un encadrement précis de \( I \).
• Calcul exact par primitive : Finalement, il est demandé de vérifier que \( G(x) = (x-1)e^x \) est une primitive de \( g \) pour calculer la valeur exacte de \( I \) et vérifier la cohérence avec les résultats précédents.

Exercice 3 : Calculs de primitives et d'intégrales (3 points)

Cet exercice est une application directe des techniques de calcul d'intégrales via la recherche de primitives usuelles.

• Intégrale d'un polynôme : Calcul de \( A = \int_{0}^{2} (3x^2 - 2x + 1) dx \).
• Intégrale de la fonction inverse : Calcul de \( B = \int_{1}^{e} \frac{2}{x} dx \), faisant intervenir la primitive en logarithme népérien.
• Intégrale de fonctions exponentielles : Calcul de \( C = \int_{0}^{1} e^{2x} dx \) (forme \( e^{ax} \)) et de \( D = \int_{0}^{1} 2x e^{x^2} dx \) (forme \( u'e^u \)).

Exercice 4 : Autour de la valeur moyenne (2,5 points)

Cet exercice se concentre sur le concept de valeur moyenne d'une fonction, ici \( h(x) = 4 - x^2 \).

• Calcul de valeur moyenne : Il s'agit de calculer la valeur moyenne \( m \) de \( h \) sur \( [0; 2] \) en appliquant la formule du cours.
• Encadrement de la valeur moyenne : Sans calcul, il faut expliquer pourquoi \( 0 \le m \le 4 \), en se basant sur les bornes de la fonction sur l'intervalle.
• Théorème de la valeur moyenne : La dernière question demande de trouver la valeur \( c \in [0;2] \) telle que \( h(c) = m \), illustrant le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales.

Exercice 5 : Problème de synthèse et prise d'initiative (1 point)

Cet exercice ouvert prolonge le premier exercice en s'interrogeant sur l'évolution à long terme de la concentration moyenne en nitrates. Il demande de calculer la limite de la valeur moyenne \( m(T) \) lorsque \( T \to +\infty \). Cette question requiert de la prise d'initiative, la manipulation de limites avec des fonctions exponentielles et une interprétation du résultat dans le contexte donné.