Obtenez une analyse complète et un corrigé détaillé de ce sujet de mathématiques pour le niveau Terminale, option Maths Complémentaires. Ce contrôle, d'une durée d'une heure, porte sur les chapitres fondamentaux des limites de fonctions et de la continuité. Il est idéal pour s'entraîner et valider ses acquis sur l'étude de fonctions, l'application du théorème des valeurs intermédiaires et l'interprétation graphique et contextuelle des résultats. Ce document propose une correction pas à pas des deux exercices, axés sur des problèmes de modélisation concrets.

Ce sujet est une excellente ressource pour les élèves souhaitant approfondir leur compréhension des fonctions exponentielles et rationnelles, deux piliers du programme de Terminale. Téléchargez ce contrôle corrigé pour vous préparer efficacement aux évaluations.

Exercice 1 : Apprendre une liste de mots (Étude d'une fonction exponentielle)

Cet exercice propose de modéliser l'apprentissage d'une liste de mots par une étudiante en orthophonie à l'aide de la fonction \(M(t) = 50 (1 - e^{-0.2t})\), où \(t\) représente le nombre de jours de révision. L'objectif est de mener une étude de fonction complète pour analyser ce modèle.

• Question 1 : On commence par calculer l'image en 0, \(M(0)\), pour déterminer le nombre de mots connus au début de l'étude et interpréter ce résultat initial.
• Question 2 : Cette question se concentre sur le comportement de la fonction à long terme. Il faut déterminer la limite de \(M(t)\) lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\). Cela implique de connaître la limite de la fonction exponentielle. L'interprétation de cette limite permet de comprendre la capacité maximale de mémorisation de l'étudiante et se traduit graphiquement par une asymptote horizontale à la courbe représentative de \(M\).
• Question 3 : Il s'agit de la partie classique sur l'étude des variations. On calcule la dérivée \(M'(t)\) en utilisant les formules de dérivation des fonctions composées avec exponentielle. L'étude du signe de \(M'(t)\) permet ensuite de déduire le sens de variation de \(M\) et de dresser son tableau de variations complet sur l'intervalle \([0; +\infty[\).
• Question 4 : Une question d'interprétation des variations qui demande de justifier que le nombre de mots mémorisés reste toujours inférieur à 50.
• Question 5 : Le cœur de la partie "continuité" de ce contrôle. On utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour démontrer que l'équation \(M(t) = 25\) (mémoriser la moitié de la liste) admet une unique solution \(t_0\). Ensuite, à l'aide des valeurs approchées fournies, on détermine un encadrement de cette solution, ce qui correspond au temps nécessaire pour atteindre cet objectif.
• Question 6 : Une application numérique simple pour estimer le nombre de mots sus au bout de 10 jours.

Exercice 2 : L'inventaire des oiseaux (Étude d'une fonction rationnelle et de sa réciproque)

Le second exercice s'intéresse à la modélisation du nombre d'espèces d'oiseaux recensées dans une forêt en fonction du temps d'observation \(t\). Le modèle est une fonction rationnelle : \(N(t) = \frac{60t}{t+3}\).

Partie A : Le nombre d'espèces recensées

• Question 1 & 2 : Après un calcul d'images, on demande de réécrire l'expression de \(N(t)\) pour faciliter le calcul de limite. La détermination de la limite en \(+\infty\) se fait en utilisant la technique de factorisation par le terme de plus haut degré. L'interprétation de cette limite (le nombre maximal d'espèces observables) et de l'asymptote horizontale est cruciale.
• Question 3 : On calcule la dérivée \(N'(t)\) avec la formule de dérivation d'un quotient \(\left(\frac{u}{v}\right)'\). L'étude du signe de la dérivée permet de dresser le tableau de variations de la fonction \(N\), montrant que le nombre d'espèces recensées est une fonction croissante du temps.
• Question 4 : On applique à nouveau le corollaire du TVI pour justifier l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation \(N(t) = k\). Une résolution d'équation du type \(N(t) = 50\) permet de trouver le temps nécessaire pour observer 50 espèces.

Partie B : Lire le temps à partir du nombre d'espèces

• Question 5 & 6 : Cette partie introduit la notion de fonction réciproque, notée \(g\), qui donne le temps d'observation en fonction du nombre d'espèces. Il faut vérifier son expression en résolvant l'équation \(N(t)=y\).
• Question 7 : Un calcul de limite "sur le bord" de l'ensemble de définition : on étudie la limite de \(g(y)\) lorsque \(y\) tend vers 60. Cela met en évidence une asymptote verticale pour la courbe de \(g\), signifiant qu'il faudrait un temps infini pour observer les 60 espèces.
• Question 8 : La question finale porte sur la relation géométrique entre les courbes d'une fonction et de sa réciproque : elles sont symétriques par rapport à la première bissectrice (la droite d'équation \(y=x\)).