Analyse du sujet de mathématiques (Maths Complémentaires)

Ce document est un contrôle corrigé destiné aux élèves de Terminale en option Maths Complémentaires. Le sujet, d'une durée de 1h30, porte sur le chapitre des lois de probabilité à densité, avec un focus particulier sur la loi exponentielle et ses applications. Ce contrôle est un excellent outil de révision pour le baccalauréat, car il balaie un large spectre de compétences, de la connaissance du cours à la résolution de problèmes concrets, en passant par l'analyse graphique et l'utilisation de la loi binomiale.

Exercice 1 : QCM de connaissances sur les lois à densité

Ce premier exercice est un questionnaire à choix multiples qui évalue les connaissances fondamentales sur les lois à densité et la loi exponentielle. Chaque question demande une justification, assurant une réelle compréhension des concepts.

• Question 1: Identifier une fonction densité de probabilité sur un intervalle \([0, 2]\). Il faut vérifier que la fonction est positive et que son intégrale sur l'intervalle vaut 1, soit \( \int_{0}^{2} f(x) dx = 1 \).
• Question 2: Utiliser la fonction de répartition \(F\) pour calculer une probabilité. La compétence testée est la formule de l'événement contraire : \( P(X > a) = 1 - P(X \leq a) = 1 - F(a) \).
• Question 3: Calculer une probabilité pour une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) donné. Il s'agit d'appliquer la formule \( P(X \leq a) = 1 - e^{-\lambda a} \).
• Question 4: Connaître et appliquer la formule de l'espérance d'une loi exponentielle : \( E(X) = \frac{1}{\lambda} \).
• Question 5: Mettre en œuvre la propriété de durée de vie sans vieillissement (ou d'amnésie) de la loi exponentielle, qui stipule que \( P_{X>t}(X > t+h) = P(X > h) \).
• Question 6: Connaître le sens de variation de la fonction densité d'une loi exponentielle, qui est toujours décroissante sur \( [0, +\infty[ \).
• Question 7: Se souvenir qu'pour toute variable aléatoire continue, la probabilité en un point est nulle : \( P(X=a) = 0 \).

Exercice 2 : Étude graphique d'une loi exponentielle

Cet exercice se concentre sur l'interprétation graphique des fonctions liées à une loi exponentielle. Il est essentiel de savoir lier les représentations graphiques aux propriétés théoriques.

• Question 1: Distinguer la courbe de la fonction de densité \(f\) (décroissante, tendant vers 0) de celle de la fonction de répartition \(F\) (croissante, tendant vers 1).
• Question 2: Déterminer graphiquement le paramètre \(\lambda\) en lisant l'ordonnée à l'origine de la courbe de densité, car \(f(0)=\lambda\).
• Question 3: Effectuer une lecture graphique d'une probabilité \(P(X \leq 2) = F(2)\) et la vérifier par le calcul.
• Question 4: Comprendre que la probabilité \(P(X \leq a)\) correspond à l'aire sous la courbe de la fonction de densité \(f\) de 0 à \(a\).
• Question 5: Résoudre graphiquement (lecture d'antécédent) puis par le calcul l'équation \(F(x) = 0,5\) pour trouver la médiane de la loi.
• Question 6: Justifier une propriété fondamentale des densités de probabilité : l'aire totale sous la courbe doit être égale à 1.

Exercice 3 : Problème concret - Durée de vie d'une pompe à insuline

Cet exercice contextualise la loi exponentielle à travers un problème de fiabilité. Il fait également le lien avec la loi binomiale, un classique des sujets de bac.

• Questions 1 et 2: Modéliser une situation réelle. Il faut calculer le paramètre \(\lambda\) à partir de la durée de vie moyenne (l'espérance) et l'utiliser pour calculer une probabilité de survie \( P(D > 2) = e^{-2\lambda} \).
• Question 3: Appliquer de nouveau la propriété de durée de vie sans vieillissement dans un contexte concret.
• Question 4: Changer de modèle pour passer à une loi binomiale. Il faut justifier que le nombre de pompes fonctionnelles suit une loi \(\mathcal{B}(n, p)\) en identifiant la répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes, puis calculer une probabilité de type \(P(N \geq k)\).
• Question 5: Confronter un résultat observé à un calcul de probabilité pour effectuer une prise de décision argumentée.

Exercice 4 : Questions techniques indépendantes

Ce dernier exercice regroupe plusieurs questions techniques pour évaluer la maîtrise des calculs liés à la loi exponentielle.

• Question 1: Démontrer qu'une fonction \(f(x) = 3e^{-3x}\) est une densité de probabilité en calculant une intégrale avec une borne infinie, ce qui nécessite l'usage des primitives et des limites. Par la suite, calculer des probabilités en intégrant cette densité.
• Question 2: Déterminer le paramètre \(\lambda\) d'une loi exponentielle à partir d'une probabilité donnée. Cet exercice requiert la résolution d'une équation avec exponentielle, impliquant l'utilisation du logarithme népérien, pour trouver \(\lambda = -\frac{\ln(0,4)}{5}\).
• Question 3: Résoudre l'équation \(P(Z > t) = 0,05\), c'est-à-dire \(e^{-0,2t} = 0,05\), pour trouver une durée de vie minimale garantie avec une certaine probabilité.