Ce sujet de mathématiques de niveau Seconde est un contrôle d'une heure sur le chapitre des généralités sur les fonctions. Il est idéal pour s'entraîner à maîtriser les concepts de base des fonctions, de leur représentation graphique à la résolution de problèmes concrets. Ce document, avec son corrigé détaillé, permet de valider des compétences essentielles du programme. Il est conçu pour les élèves souhaitant consolider leurs acquis sur les tableaux de valeurs, la lecture graphique et la modélisation d'un problème par une fonction.

Ce contrôle corrigé est structuré en quatre exercices de difficulté progressive, balayant les savoir-faire fondamentaux sur l'étude de fonctions.

Exercice 1 : Lien entre tableau de valeurs et courbe représentative

Le premier exercice vise à vérifier la capacité de l'élève à faire le lien entre deux représentations d'une même fonction : le tableau de valeurs et la courbe. Pour une fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-2; 2]\) et donnée par un tableau de valeurs, il faut analyser quatre courbes proposées.

• La tâche consiste à justifier pour chaque courbe si elle peut correspondre ou non à la fonction \(f\).
• Cette analyse se base sur deux critères principaux :
1. Vérification de points : La courbe doit passer par tous les points définis dans le tableau de valeurs. Par exemple, le point de coordonnées \((0, 2)\) doit appartenir à la courbe car \(f(0)=2\).
2. Définition d'une fonction : Une courbe représentant une fonction ne peut avoir qu'un seul point pour une abscisse donnée. Toute courbe qui présente plusieurs images pour une même abscisse est à écarter.

Exercice 2 : Construction d'une courbe à partir d'un tableau de valeurs

Cet exercice est le pendant du premier. Il s'agit ici de passer de la représentation tabulaire à la représentation graphique. Étant donné un tableau de valeurs pour une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\), l'objectif est de construire sa courbe représentative.

• Il faut d'abord choisir une échelle appropriée pour le repère afin de pouvoir placer tous les points.
• Ensuite, on place précisément chaque point \((x, f(x))\) donné dans le tableau.
• Enfin, on relie ces points par une courbe tracée à main levée, en essayant d'être le plus fidèle possible à l'allure que pourrait avoir la fonction. La mention de l'ensemble de définition \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) suggère une attention particulière autour de l'abscisse \(x=2\).

Exercice 3 : Résolution graphique d'équations et inéquations

Cet exercice est un classique de la lecture graphique. À partir de la courbe d'une fonction \(f\), il faut résoudre graphiquement des équations et inéquations.

1. Résoudre \(f(x) = 0\) : Cela revient à trouver les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
2. Résoudre \(f(x) > 2\) : Il s'agit ici de trouver les abscisses des points de la courbe qui sont situés strictement au-dessus de la droite horizontale d'équation \(y=2\).

Cet exercice ne demande aucune justification, testant ainsi la capacité de lecture et d'interprétation directe d'un graphique.

Exercice 4 : Problème de modélisation

Le dernier exercice est un problème complet qui combine géométrie et fonctions. Il s'agit de modéliser une situation pour l'étudier à l'aide des outils d'analyse de fonction. L'aire d'une partie d'une figure géométrique est exprimée en fonction d'une longueur variable \(x\).

• 1. Ensemble de définition : La première question consiste à déterminer l'intervalle des valeurs possibles pour \(x\), qui est la longueur \(AM\) sur un segment \([AD]\) de longueur 6. L'ensemble de définition est donc \([0; 6]\).
• 2. Expression de la fonction : Il est demandé de montrer que l'aire de la partie hachurée est donnée par la fonction \(f(x) = x^2 - 7x + 24\). Cette étape demande une mise en équation géométrique.
• 3. Tableau de valeurs : Il faut calculer les images de plusieurs valeurs de \(x\) par la fonction \(f\) pour compléter un tableau. C'est une application directe du calcul d'images.
• 4. Résolution d'inéquation : À l'aide du tableau de valeurs, on demande de résoudre \(f(x) > 14\).
• 5. Résolution d'équation : La dernière question est un problème de recherche. Il faut trouver la valeur de \(x\) pour laquelle l'aire hachurée est égale au tiers de l'aire du grand rectangle. Cela se traduit par l'équation \(f(x) = \frac{48}{3} = 16\). La résolution de cette équation du second degré (\(x^2 - 7x + 8 = 0\)) est nécessaire pour trouver la ou les positions possibles du point \(M\).