Découvrez un sujet de contrôle de mathématiques complet pour le niveau Seconde, axé sur les chapitres fondamentaux de l'année : l'étude de fonctions, les vecteurs, les taux d'évolution et le calcul littéral. Ce sujet, avec calculatrice autorisée, est un excellent outil de révision et d'évaluation des compétences acquises. Chaque exercice est conçu pour tester à la fois la compréhension des concepts et la rigueur de la rédaction.

Ce contrôle de maths corrigé est idéal pour les élèves de Seconde souhaitant s'entraîner en conditions réelles. Il aborde une grande variété de savoir-faire essentiels pour réussir son année et préparer sereinement la Première.

Exercice 1 : Étude graphique d'une fonction (4 points)

Cet exercice est un classique de l'analyse de fonction à partir de sa représentation graphique. On étudie une fonction \(g\) dont la courbe \(C_g\) est fournie. L'objectif est de mobiliser ses compétences de lecture et d'interprétation graphique.

• Question 1 : Déterminer l'ensemble de définition de la fonction \(g\). Il s'agit de lire sur l'axe des abscisses l'intervalle sur lequel la courbe est tracée.
• Question 2 & 3 : Lecture d'images et d'antécédents. Il est demandé de trouver graphiquement l'image de 2, c'est-à-dire \(g(2)\), puis de trouver le ou les antécédents de 2, c'est-à-dire les valeurs de \(x\) telles que \(g(x) = 2\).
• Question 4 : Appartenance d'un point à une courbe. On doit vérifier si le point \(A(1; 4)\) appartient à la courbe \(C_g\), en justifiant par le calcul ou la lecture de l'image de 1.
• Question 5 : Résolution graphique d'inéquation. Il faut résoudre l'inéquation \(g(x) \ge 1\). Cela revient à identifier les parties de la courbe situées au-dessus ou sur la droite d'équation \(y=1\).
• Question 6 & 7 : Analyse plus fine de la fonction. On demande de déterminer l'ensemble des réels pour lesquels l'image est positive ou nulle (\(g(x) \ge 0\)), puis de trouver l'ensemble des ordonnées qui possèdent exactement quatre antécédents, ce qui demande une analyse du nombre de solutions de l'équation \(g(x)=k\).

Exercice 2 : Parité de fonctions (4 points)

Cet exercice se concentre sur une propriété importante des fonctions : la parité. Il faut maîtriser les définitions d'une fonction paire et d'une fonction impaire, et savoir les appliquer algébriquement.

• Question 1 : Étudier la parité de trois fonctions différentes.
  • a) \(f(x) = x^3 - x\) sur \(\mathbb{R}\). Il faut calculer \(f(-x)\) et le comparer à \(f(x)\).
  • b) \(g(x) = x^2 + x + 1\) sur \([-5; 5]\). L'intervalle est symétrique, on peut donc étudier la parité.
  • c) \(h(x) = 2x^3\) sur \([-4; 5]\). Une attention particulière doit être portée à l'ensemble de définition, qui n'est pas symétrique par rapport à 0.
  Pour chaque cas, il faut conclure si la fonction est paire, impaire, ou ni l'un ni l'autre, et mentionner la symétrie correspondante pour la courbe (axe des ordonnées ou origine du repère).
• Question 2 : Une question plus théorique qui teste la compréhension des propriétés de la parité. Sachant que \(f\) est une fonction impaire, on doit déterminer la parité de la fonction \(g(x) = (2x^2 + 1) \times f(x)\) en calculant \(g(-x)\).

Exercice 3 : Vrai ou Faux (Calcul littéral et vectoriel) (5 points)

Ce QCM justifié est un excellent moyen de vérifier la maîtrise des règles de calcul, que ce soit en algèbre ou avec les vecteurs. Chaque affirmation doit être prouvée (si vraie) ou réfutée avec un contre-exemple ou un calcul (si fausse).

• Affirmation 1 : Teste la simplification d'expressions vectorielles complexes. Il faut utiliser la relation de Chasles et les propriétés des vecteurs pour simplifier \(-\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CA} + 3 (\vec{AB} - \vec{AC}) - 2\vec{CB}\).
• Affirmation 2 : Concerne les identités remarquables. Il faut vérifier l'égalité \((2x + 3)^2 - 4 = (2x + 1)(2x + 5)\) en développant chaque membre ou en factorisant le premier membre (forme \(a^2 - b^2\)).
• Affirmation 3 : Évaluation d'une fonction. On doit calculer l'image de \(1 + \sqrt{5}\) par la fonction \(f(x) = (x-1)^2 - (2x-3)(x-1)\). Une factorisation préalable de \(f(x)\) peut simplifier grandement le calcul.
• Affirmation 4 : Propriétés géométriques des vecteurs dans un parallélogramme. Dans un parallélogramme \(ABCD\) de centre \(O\), il faut démontrer si l'égalité \(2\vec{AB} + 2\vec{AD} - \vec{AC} = 2\vec{AO}\) est vraie, en utilisant les règles de la somme vectorielle et la définition du centre d'un parallélogramme.

Exercice 4 : Taux d'évolution et pourcentages (4 points)

Cet exercice est entièrement dédié aux pourcentages, un chapitre essentiel aux applications concrètes. Il couvre les différents types de calculs liés aux évolutions successives.

• Question 1 : Calculer un taux d'évolution global à partir de trois augmentations successives (20%, 25%, 30%). L'utilisation des coefficients multiplicateurs est ici indispensable.
• Question 2 : Calculer un taux d'évolution réciproque. Après une augmentation de 20%, quelle réduction (en pourcentage) faut-il appliquer pour revenir au prix de départ ?
• Question 3 : Trouver un taux d'évolution manquant. Après une baisse de 15% puis une autre baisse de \(t\)%, on obtient une baisse globale de 30%. Il faut retrouver la valeur de \(t\).
• Question 4 : Calculer un taux d'évolution à partir de la valeur initiale (1500€) et de la valeur finale (2000€).

Exercice 5 : Géométrie vectorielle (3 points)

Le dernier exercice est un problème de géométrie pure où l'outil vectoriel est central. Il s'agit de manipuler les vecteurs pour démontrer une propriété géométrique.

• Question 1 : Placer des points \(M, N, P\) définis par des égalités vectorielles comme \(\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AB}\).
• Question 2 : Exprimer un vecteur en fonction d'autres. Il est demandé d'exprimer le vecteur \(\vec{MN}\) en fonction des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) en utilisant la relation de Chasles pour décomposer le vecteur.
• Question 3 : Démontrer une égalité vectorielle (\(\vec{NP} = \frac{2}{3}\vec{AC} + \frac{1}{3}\vec{BA}\)) et en déduire une propriété géométrique. La conclusion attendue est de prouver que \(N\) est le milieu du segment \([MP]\) en montrant l'égalité des vecteurs \(\vec{MN}\) et \(\vec{NP}\).