Ce document présente le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale, spécialité Maths Expertes. D'une durée d'une heure et trente minutes, ce sujet porte sur deux chapitres fondamentaux du programme : les nombres complexes sous leur forme algébrique et les matrices. C'est un excellent support pour s'entraîner et valider ses connaissances avant une évaluation. Ce sujet de maths est conçu pour tester à la fois les compétences calculatoires et la rigueur du raisonnement.

Ce contrôle corrigé est structuré en trois exercices indépendants, permettant de balayer une large partie des savoir-faire attendus sur ces notions.

Exercice 1 : Maîtrise des Nombres Complexes (10 points)

Cet exercice très complet vise à évaluer les bases du calcul avec les nombres complexes. Il est décomposé en quatre questions indépendantes.

• Question 1 : Il s'agit d'une mise en application directe des opérations élémentaires. En partant de deux nombres complexes \(z_1 = 1 + i\) et \(z_2 = 4 – 5i\), il est demandé de déterminer la forme algébrique de :
  • La somme : \(z_1 + z_2\)
  • Le produit : \(z_1 z_2\)
  • Une combinaison linéaire : \(3z_1 + 4z_2\)
  • La puissance : \(z_1^2\)
  Cette question vérifie la capacité à manipuler la forme algébrique \(a+ib\) et les propriétés de l'unité imaginaire \(i\) (avec \(i^2 = -1\)).
• Question 2 : Cette partie aborde la résolution d'équations du second degré dans l'ensemble des nombres complexes \(\mathbb{C}\).
  1. La première équation, \(z^2 - 8\sqrt{3} z + 64 = 0\), est un cas classique à coefficients réels. Le calcul du discriminant \(\Delta\) s'avère négatif, ce qui mène à deux solutions complexes conjuguées.
  2. La seconde équation, \(z^2 - 2(1 + 2 \cos \theta) z + 5 + 4 \cos \theta = 0\), introduit un paramètre réel \(\theta\). Bien que plus technique, la méthode de résolution par le discriminant reste la même et demande une bonne maîtrise du calcul littéral.
• Question 3 : On demande de trouver une condition sur les parties réelle (\(x\)) et imaginaire (\(y\)) d'un nombre complexe \(z = x+iy\) pour qu'un autre nombre complexe \(Z = (z + i)(\bar{z} – iz)\) soit un nombre réel. La méthode consiste à développer l'expression de \(Z\) en fonction de \(x\) et \(y\), puis à annuler sa partie imaginaire (\(Im(Z) = 0\)).
• Question 4 : Une question plus théorique où il faut déterminer si le nombre complexe \(Z = z\bar{z} + i\bar{z} – iz + 2\) est réel. La technique la plus élégante consiste à calculer le conjugué de \(Z\), noté \(\bar{Z}\). Si l'on démontre que \(\bar{Z} = Z\), alors \(Z\) est nécessairement un nombre réel. Cela teste la connaissance des propriétés du conjugué.

Exercice 2 : Opérations et Propriétés des Matrices (5 points)

Le deuxième exercice est une introduction au calcul matriciel et à la manipulation des matrices. Il met en jeu quatre matrices \(A, B, M, N\).

• Question 1 : Il faut d'abord justifier que le produit matriciel \(AB\) est bien défini, en vérifiant la compatibilité des dimensions des matrices, puis le calculer.
• Question 2 : Une simple soustraction de matrices, \(M-N\), est demandée.
• Question 3 : C'est la question de synthèse. En utilisant les résultats précédents, il faut justifier l'égalité \(AM = AN\) sans effectuer de nouveaux produits matriciels. Cela repose sur la distributivité du produit matriciel sur l'addition et teste la compréhension des propriétés algébriques des matrices.

Exercice 3 : Puissances de Matrices et Raisonnement par Récurrence (5 points)

Ce dernier exercice combine le calcul matriciel avec le raisonnement par récurrence, une compétence clé du programme de Maths Expertes. On étudie les puissances successives d'une matrice \(A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\).

• Question 1 : Calcul des carrés des matrices \(A\) et \(N\), où \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\).
• Question 2 : Il est demandé d'exprimer \(A\) puis \(A^2\) en fonction de la matrice identité \(I\) et de la matrice \(N\). On trouve que \(A = 5I + N\). Cette décomposition est la clé pour calculer les puissances de \(A\).
• Question 3 : L'objectif final est de démontrer par récurrence la formule explicite pour la puissance \(k\)-ième de \(A\) : pour tout entier \(k \ge 1\), on a \(A^k = 5^kI + k 5^{k-1}N\). Cette question est un grand classique qui nécessite de maîtriser parfaitement la structure et la rédaction d'une démonstration par récurrence (initialisation, hypothèse de récurrence, hérédité) dans le contexte du calcul matriciel.