Analyse et Corrigé du Contrôle de Maths Seconde sur le Calcul Littéral et les Équations

Ce sujet de mathématiques pour la classe de Seconde est une évaluation complète sur les chapitres du calcul littéral et de la résolution d'équations. D'une durée de 50 minutes et sans calculatrice, ce contrôle teste les compétences fondamentales de manipulation d'expressions algébriques et la maîtrise des différentes techniques de résolution d'équations. Vous trouverez ici une analyse détaillée et un corrigé de chaque exercice pour vous aider à progresser.

Ce type de sujet est un classique du programme de Seconde et prépare efficacement aux exigences du lycée. Les compétences évaluées incluent :

• Le développement d'expressions à l'aide des identités remarquables et de la double distributivité.
• La factorisation par reconnaissance d'identités remarquables ou de facteurs communs.
• La résolution d'équations du premier et du second degré, y compris les équations produit-nul et quotient-nul.
• La mise en équation d'un problème géométrique.

Exercice 1 : Développement et Réduction

Cet exercice évalue la capacité à développer et simplifier des expressions polynomiales. Il est essentiel de maîtriser les identités remarquables et les règles de signes.

• Question a : Il s'agit de développer \((2x + 5)^2 + (3x - 4)^2\). Pour cela, on utilise les identités remarquables \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) et \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
  \((2x+5)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5) + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25\)
  \((3x-4)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(4) + 4^2 = 9x^2 - 24x + 16\)
  L'expression finale est la somme : \((4x^2 + 20x + 25) + (9x^2 - 24x + 16) = 13x^2 - 4x + 41\).
• Question b : On doit développer \((3x - 2)^2 – (5x + 1)(x - 3)\). Cet enchaînement demande l'application d'une identité remarquable et de la double distributivité, suivie d'une soustraction. Attention à la gestion des signes avec la parenthèse !
  \((3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4\)
  \((5x+1)(x-3) = 5x^2 - 15x + x - 3 = 5x^2 - 14x - 3\)
  On soustrait ensuite : \((9x^2 - 12x + 4) - (5x^2 - 14x - 3) = 4x^2 + 2x + 7\).

Exercice 2 : Factorisation d'expressions

La factorisation est la compétence inverse du développement. Cet exercice teste la reconnaissance de formes clés : l'identité remarquable \(a^2-b^2\) et le facteur commun.

• Question a : Pour factoriser \((3x + 5)^2 - 4\), on reconnaît la forme \(a^2 - b^2\) avec \(a = (3x+5)\) et \(b=2\) (car \(4=2^2\)). La factorisation est \((a-b)(a+b)\).
  \(((3x+5) - 2)((3x+5) + 2) = (3x+3)(3x+7)\).
• Question b : Pour factoriser \((x + 2)^2 - 4x(x + 2)\), on identifie le facteur commun qui est \((x+2)\).
  \((x+2)[(x+2) - 4x] = (x+2)(x+2-4x) = (x+2)(-3x+2)\).

Exercice 3 : Résolution d'équations

Cet exercice est au cœur du chapitre et balaye plusieurs types d'équations fondamentales en Seconde.

• Question a : L'équation \(\frac{3x+4}{5} = \frac{2x-1}{4}\) est une équation du premier degré avec des fractions. La méthode la plus efficace est le produit en croix : \(4(3x+4) = 5(2x-1)\), ce qui mène à une équation linéaire simple à résoudre.
• Question b : L'équation \((2x+3)(5x-1) = 0\) est une équation produit-nul. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On résout donc \(2x+3=0\) et \(5x-1=0\).
• Question c : L'équation \(-3x^2 + 5x = 0\) est une équation du second degré sans terme constant. On la résout en factorisant par \(x\) : \(x(-3x+5)=0\), ce qui la ramène à une équation produit-nul.
• Question d : L'équation \(\frac{x^2-9}{x-3}=0\) est une équation quotient-nul. Un quotient est nul si son numérateur est nul ET son dénominateur est non nul. On doit donc résoudre \(x^2-9=0\) et s'assurer que la solution n'annule pas le dénominateur, c'est-à-dire \(x-3 \neq 0\). La valeur \(x=3\) est une valeur interdite.

Exercice 4 : Choisir la forme la plus adaptée

Cet exercice est plus méthodologique. Il montre l'intérêt de disposer de plusieurs formes pour une même expression (développée, factorisée) en fonction du problème à résoudre. On part de \(A = (x - 5)^2 – 9\).

1. Factoriser A : On reconnaît \(a^2-b^2\) avec \(a=x-5\) et \(b=3\). \(A = ((x-5)-3)((x-5)+3) = (x-8)(x-2)\). C'est la forme factorisée.
2. Développer et réduire A : On part de la forme initiale. \(A = (x^2 - 10x + 25) - 9 = x^2 - 10x + 16\). C'est la forme développée.
3. Résoudre les équations :
   Pour résoudre \(A=0\), la forme factorisée est la plus simple : \((x-8)(x-2)=0\) donne immédiatement les solutions \(x=8\) et \(x=2\).
   Pour résoudre \(A=16\), la forme développée est plus pratique : \(x^2 - 10x + 16 = 16\), ce qui se simplifie en \(x^2 - 10x = 0\). On factorise par \(x\) pour obtenir \(x(x-10)=0\), donnant les solutions \(x=0\) et \(x=10\).

Exercice 5 : Problème de mise en équation

Ce dernier exercice est une application concrète du calcul littéral à un problème de géométrie. Il s'agit de modéliser une situation pour la résoudre.

1. Intervalle pour x : Le point M est mobile sur le segment [AB] de longueur 10 cm. Comme \(x=AM\), \(x\) peut varier de 0 (quand M est en A) à 10 (quand M est en B). Donc \(x \in [0, 10]\).
2. Aire de la zone colorée : La zone est composée de deux carrés. Le premier, AMNP, a pour côté \(x\), son aire est donc \(x^2\). Le second, GNHC, a pour côté \(HC=10-x\). L'aire du second carré est \((10-x)^2\). L'aire totale est \(A(x) = x^2 + (10-x)^2\).
3. Résolution : On cherche \(x\) tel que \(A(x)=50\). On résout l'équation \(x^2 + (10-x)^2 = 50\). En développant, on obtient \(x^2 + 100 - 20x + x^2 = 50\), soit \(2x^2 - 20x + 50 = 0\). En divisant par 2, on a \(x^2 - 10x + 25 = 0\). On reconnaît l'identité remarquable \((x-5)^2 = 0\), qui a pour unique solution \(x=5\).