Introduction
Allez les amis, aujourd'hui on est parti pour prendre une compétence qui consiste à déterminer si un point appartient à un cercle donné. On va résoudre ça de deux manières : une manière longue et compliquée, et une manière simple et courte. Je vous laisserai choisir à la fin celle que vous préférez. On s'y met tout de suite.
Méthode longue et compliquée
La manière longue et compliquée de savoir si le point \(A\) appartient à ce cercle \(C\) est de dire : moi je suis une brute, je prends le cercle \(C\), j'ai trouvé son équation et une fois que j'ai l'équation en fonction de \(x\) et \(y\), eh bien je vais prendre les coordonnées de \(A\), je vais les mettre dedans et je vais voir si l'équation est vérifiée. Si l'équation est vérifiée, c'est à dire que \(A\) appartient au cercle. Si l'équation n'est pas vérifiée, c'est à dire que \(A\) n'appartient pas au cercle.
Donc je sais que mon équation est \( (x-0)^2 + (y-1)^2 = 1 \) et pourquoi ? Parce que mon centre \(C\) est (0,1) et mon rayon est 1. Donc ça, c'est l'équation de mon cercle. Maintenant je prends les coordonnées de \(A\) et je vais les mettre dedans. Donc \(x = -1\) et \(y = 0\). Donc \((-1-0)^2 + (0-1)^2 = 1\). Donc \((-1)^2 + (-1)^2 = 1\). Donc \(1 + 1 = 2\). Est-ce que c'est vrai ? Oui. Donc est-ce que le point \(A\) est sur le cercle ? Oui.
Méthode simple et courte
Maintenant, passons à la méthode simple et courte. On prend le cercle, on connaît son centre \(C\) et son rayon \(r\). Si on veut vérifier que le point \(A\) appartient à ce cercle, ça veut dire que la distance \(AC\) doit être égale au rayon \(r\). Donc je calcule la distance \(AC\). Comment est-ce que je fais ça ? Je commence par calculer les coordonnées du vecteur \(AC\), qui sont \((0 - (-1), 1 - 0) = (1, 1)\). Ensuite, je vérifie si cette longueur est égale au rayon du cercle. Pour calculer la longueur, je calcule la norme de \(AC\), qui est \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). Donc \(AC = \sqrt{2}\). Est-ce que cette distance est égale au rayon du cercle ? Non. Donc le point \(A\) n'est pas sur le cercle.
Franchement, je ne sais pas quoi dire. J'avais prévu que la méthode longue soit infiniment plus longue que la méthode courte, alors qu'au final, la méthode courte est peut-être légèrement plus longue que la méthode longue. À vous de jouer, à vous de voir. Il y a des exercices où vous pouvez tenter l'une ou l'autre méthode. Je pense que la méthode courte est quand même mieux que la méthode longue, mais je vous laisse essayer ça dans les exercices. Vous êtes des champions.