3. Résoudre une équation du 2nd degré simple

Introduction

Allez les amis, on est parti pour résoudre des équations du second degré. Sachant que vous allez tous vous planter et que vous ne le ferez plus après, on y va. Là, je vous présente un exercice type de secondes : résoudre les équations suivantes.

Exercice 1 : \(x^2 = 4\)

Ça commence avec \(x^2 = 4\). La plupart du temps, quand vous voyez que \(x^2 = 4\), vous vous dites "génial, je sais faire, aucun problème". Sauf que dans 90% des cas, vous vous plantez. Je m'explique : vous voyez \(x^2 = 4\), donc on cherche un nombre qui, mis au carré, fait 4. Autrement dit, je cherche un nombre qui, quand je le multiplie par lui-même (c'est-à-dire lui-même x lui-même), à la fin je dois avoir 4. Sauf que vous connaissez ce nombre qui, multiplié par lui-même, donne 4 : c'est 2. Quand je fais \(2 \times 2\), ça fait 4. Donc ce que vous faites en contrôle, c'est que vous répondez facilement \(x^2 = 4\), je connais la solution, c'est \(x = 2\). Sauf qu'avant de prendre le point, vous ne prenez rien du tout. Si vous m'écrivez \(x = 2\), vous ne prenez que dalle, 0. La question est pourquoi ? Alors on va faire les choses sérieusement. La fonction \(x^2\), parce que c'est une fonction, c'est un objet qui prend \(x\) et qui le transforme en \(x^2\). Donc il prend notamment 2 et le transforme en 4. Cette fonction a exactement cette allure là, c'est à dire qu'elle ressemble à ça. Donc vous, ce que vous êtes en train de me dire, c'est que pour que la fonction \(x^2\) vaille 4, je dois passer par 2. Effectivement, quand je prends 2 que je le mets dans la fonction, ça me donne 4. Mais ce n'est pas tout, vous avez oublié la moitié de la solution. Regardez, \(-2\) aussi, quand je fais \(-2 \times -2\), ça me fait aussi 4. Donc mes solutions sont \(x = 2\) ou \(x = -2\). Et là, vous pouvez encadrer et là, vous prenez le point. Sinon, au meilleur des cas, on vous met la moitié des points et dans le pire des cas, si le prof est un peu plus sévère, il ne vous donne rien.

Exercice 2 : \(x^2 = -9\)

L'équation suivante est \(x^2 = -9\). Donc moi, j'aime bien ce dessin. Peut-être 20% d'entre vous vont dire "pas facile, \(x^2 = -9\), ça veut dire que \(x = -3\), j'encadre, je prends le point". Mais tu ne prends rien du tout. Quand je fais \(-3 \times -3\), ça ne me fait pas \(-9\), ça me fait 9. Donc la solution de \(x^2 = -9\) n'est surtout pas \(-3\). Regardez sur le dessin, si j'essaie de mettre \(-9\), est-ce que je peux atteindre \(-9\) avec un de ces chiffres là ? Non, en fait l'équation \(x^2 = -9\) n'a pas de solution. En sciences, on écrit "ensemble vide". Jamais vous n'aurez un nombre réel qui, quand vous le mettez au carré, vous donnera un nombre négatif. Puisque tous les nombres positifs, quand je les mets au carré, ça donne du positif. Et tous les nombres négatifs, \(-x \times -x\), ça donne aussi du positif. Donc vous n'aurez jamais, jamais, jamais un carré qui vaut \(-9\).

Exercice 3 : \(x^2 = 5\)

Troisième question, \(x^2 = 5\). Autant pour la première c'était facile parce que vous connaissez à peu près les carrés et vous savez que \(2^2\) ça fait 4, \(3^2\) ça fait 9. Les plus forts d'entre vous savent que \(4^2\), \(5^2\) et \(6^2\) ça fait 16, 25, 36 et ainsi de suite. Sauf que 5, il n'y a aucun nombre qui, mis au carré, donne 5. \(1^2\) ça fait 1, \(2^2\) ça fait 4, \(3^2\) ça fait 9, etc. Donc qu'est-ce que c'est la solution ? Eh bien, le nombre qui, mis au carré, donne 5, c'est \(\sqrt{5}\). C'est la définition de la racine. La racine de 5, c'est le nombre qui, quand je le mets au carré, me donne 5. Donc quand vous vous demandez "qu'est-ce qui, mis au carré, donne ça ?", la réponse est \(\sqrt{5}\). J'encadre, je prends le point. Je prends le point, mais je ne prends pas tout. Je ne prends pas tout parce que si j'avais répondu que \(\sqrt{x}\) était 2, je ne prends pas tout. \(x = \sqrt{5}\) ou \(x = -\sqrt{5}\) parce que si j'ai mon \(x^2\), effectivement je peux atteindre 5 avec \(\sqrt{5}\), mais je peux aussi l'atteindre avec \(-\sqrt{5}\). Dès que vous avez un carré, vous avez deux solutions, sauf dans un seul cas, c'est quand vous avez \(x^2 = 0\) parce que la solution de \(x^2 = 0\) c'est \(x = 0\) ou \(x = -0\) et \(-0\) et 0, c'est la même chose. Donc dès que vous avez un carré, vous avez deux solutions. Souvenez-vous en, parce que l'année prochaine, on verra les polynômes du second degré et on va apprendre à résoudre toutes les équations comme ça.

Exercice 4 : \(3x^2 - 27 = 0\)

On finit sur une qui est légèrement plus compliquée. Donc vous voyez \(3x^2 - 27 = 0\), là vous ne paniquez pas. Ce que vous dites, c'est "moi, tout ce que je sais résoudre, et vous avez raison, c'est \(x^2 = a\), \(x = a\), \(x^2 = a\), comment est-ce qu'on va s'en sortir ?". Mais on va s'en sortir très simplement. On va mettre cette équation là sous la forme \(x^2 = a\). On va légèrement la transformer. Donc je vous rappelle que les équations, vous avez le droit de les transformer. C'est à dire que résoudre cette équation, c'est exactement la même chose que résoudre cette équation là en ajoutant +27 des deux côtés. Donc je vais rajouter +27 des deux côtés. Je me retrouve donc avec \(3x^2 - 27 + 27 = 0 + 27\). Sauf que \(-27 + 27\) ça disparaît. J'ai \(3x^2 = 0 + 27\), donc \(3x^2 = 27\). Je vais encore me débarrasser du 3 parce que moi, je n'ai pas \(3x^2 = a\), j'ai \(x^2 = a\). Donc comment je vais virer le 3 ? Ben je vais tout diviser par 3, ou alors multiplier par un tiers, ça revient exactement à la même chose. Donc je me retrouve avec \(3x^2 / 3 = 27 / 3\). Là, je peux enfin simplifier les 3 et je me retrouve finalement avec \(x^2 = 27 / 3\). Donc on en arrive à \(x^2 = 27 / 3\). Si je divise 27 par 3, ça me fait \(x^2 = 9\). Et je peux en déduire, d'après les formules, qu'il n'y a pas une solution. Vous savez, quand on a un nombre au carré qui vaut quelque chose, il n'y a pas une solution, il y en a deux. C'est soit \(x = 3\) parce que quand je prends 3 que je le mets au carré, ça fait 9, soit \(x = -3\). On vous a mis des exercices en dessous, à vous de jouer, entraînez-vous, c'est parti.