11. Décomposition de primitives

Introduction

Allez les amis, on est parti pour un exercice classique de chez classique au contrôle : la décomposition de fraction rationnelle, c'est-à-dire de fraction de polynôme (un polynôme divisé par un autre polynôme) en une somme de fractions rationnelles (c'est une somme de polynômes sur des polynômes). On va voir qu'il y a deux variantes de cet exercice, on va se faire les deux. Ça tombe au contrôle, on se fait ça tout de suite.

Présentation de l'exercice

Alors cet exercice là, il peut se présenter de cette manière : on vous donne une fraction rationnelle, on vous donne un \(f(x)\) et on voudrait que vous le primitiviez. Vous avez un réflexe qui veut dire : "Bon, quand j'ai un polynôme en dessous de manière générale, c'est un \(u'\) sur \(u\), donc je sais que ce genre de truc, je vais avoir envie de le primitiver en \(\ln|u|\)". Donc moi, je vais poser la petite phrase que je fais d'habitude, donc on pose \(u = \ldots\), alors \(u' = \ldots\), donc mon petit \(f\) égale mon grand \(F\), la primitive est égal à \(\ldots\).

Décomposition de la fraction rationnelle

La seule technique qu'on a pour régler ce genre de problème, c'est de dire : ce polynôme là, notre \(3x + 1\) sur \(x^2 - 1\), on va le décomposer en deux polynômes. Par exemple, \(3/x + 5/(x - 1)\). On va dire que notre polynôme il est égal à ça et ça, pour le coup, ça va être du \(u'\) sur \(u\), donc ça, on va arriver à les primitiver, on va les primitiver un par un. Mais il faut encore faire ce passage là, c'est-à-dire, il faut encore trouver \(A\) et \(B\) tels que ce polynôme là, \(3x + 1\) sur \(x^2 - 1\), il soit effectivement égal à ça. Dans certains exercices, on va vous dire : "Montrer que ce truc là est égal à ce truc là" et une fois que vous aurez montré ça, vous pourrez primitiver. Dans d'autres exercices, on va vous dire : "Trouver \(A\) et \(B\) tels que ce polynôme là soit égal à celui là" et ça, c'est vous qui allez trouver les valeurs de \(A\) et \(B\).

Résolution du système d'équations

On se retrouve avec un système, un système qui nous dit donc : j'ai \(B + A\) qui vaut 3 et j'ai \(A - B\) qui vaut 1. J'ai un système à deux équations avec deux inconnus. Ce système, je peux le résoudre très vite par substitution ou par combinaison. Moi, je suis un fou, je fais de la combinaison. Donc, je vais dire : la première ligne, je vais y ajouter la deuxième. Donc, elle va venir \(B + A + A - B\). Les \(B\) vont se simplifier, il va me rester \(2A = 3 + 1 = 4\), donc en fait \(A = 4 / 2 = 2\). Et sur la deuxième, je remplace \(A\) par 2, donc \(2 - B = 1\), donc \(B = 2 - 1 = 1\).

Conclusion

Et bingo, je vais pouvoir dire que \(A = 2\) et que \(B = 1\). Et maintenant que j'ai fait ça, je primitifie. Pour primitiver, je vais réécrire mon \(f(x)\) en remplaçant \(A\) et \(B\) par les valeurs trouvées. Donc, je mets un petit coup de gomme parce que figurez-vous que c'est ce qui marche le mieux tout simplement. On est reparti, du coup mon \(f(x)\) il vaut : on est parti de \(3x + 1\) sur \(x^2 - 1\) et on arrive à \(2/(x - 1) + 1/(x + 1)\). Pourquoi est-ce que c'est cool ? Et bien parce que si maintenant vous coupez votre primitive en deux et que vous refaites le coup de "on pose \(u = \ldots\)", vous allez pouvoir primitiver chaque terme séparément.