Analyse du sujet de mathématiques : Statistiques à deux variables

Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Première STI2D se concentre sur le chapitre des statistiques à deux variables. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, il évalue la capacité des élèves à analyser des données, à modéliser une relation par un ajustement affine et à utiliser ce modèle de manière critique. Ce type de sujet est un classique du programme et prépare à la compréhension des modèles statistiques utilisés dans de nombreux domaines technologiques.

Exercice 1 : La vitesse du son (10 points)

Cet exercice s'appuie sur un contexte physique : la relation entre la température de l'air et la vitesse du son. Les données sont présentées dans un tableau et sous forme d'un nuage de points.

• Question 1 : Il s'agit d'une lecture graphique et d'une interprétation. L'élève doit observer la forme allongée du nuage de points pour justifier qu'un ajustement affine est pertinent.
• Question 2 : Cette question teste la capacité à calculer les coordonnées du point moyen G du nuage, noté \( G(\bar{T}, \bar{v}) \). Le calcul de la moyenne arithmétique de chaque variable est requis : \( \bar{T} = \frac{\sum T_i}{n} \) et \( \bar{v} = \frac{\sum v_i}{n} \).
• Question 3 : Une compétence graphique est évaluée ici : tracer une droite "au jugé" qui représente au mieux le nuage de points, en s'assurant qu'elle passe par le point moyen G.
• Question 4 : L'élève doit représenter graphiquement deux droites d'ajustement proposées, \( d_1: v = 0,6 T + 331 \) et \( d_2: v = 0,5 T + 332 \). Pour cela, il faut calculer les coordonnées de deux points pour chaque droite afin de les tracer.
• Question 5 : Le cœur de l'exercice. Il introduit le critère des moindres carrés pour déterminer le meilleur modèle. L'élève doit d'abord calculer les vitesses prévues par chaque droite pour les températures données, puis les écarts (ou résidus) entre les valeurs observées \( v_i \) et les valeurs prévues \( \hat{v}_i \). Enfin, il calcule la somme des carrés de ces écarts, \( S = \sum (v_i - \hat{v}_i)^2 \), pour chaque droite et les compare. La droite avec la plus petite somme est la meilleure selon ce critère.
• Question 6 : Une équation de la "vraie" droite des moindres carrés est donnée. L'élève doit calculer la somme des carrés des résidus \(S_3\) pour cette droite afin de vérifier si l'un des modèles précédents était correct.
• Questions 7 et 8 : Ces questions portent sur l'utilisation du modèle pour effectuer des prévisions. Elles amènent à distinguer l'interpolation (prévision dans la plage de données existantes, ex: T = 15°C) de l'extrapolation (prévision en dehors de la plage, ex: T = -25°C). La dernière question pousse à la réflexion sur les limites de validité d'un modèle mathématique en le confrontant à une réalité physique (température impossible de -550°C).

Exercice 2 : Vrai ou Faux ? (10 points)

Ce deuxième exercice, sur le thème de la relation entre budget publicitaire et chiffre d'affaires, évalue la compréhension et l'application des méthodes d'ajustement de manière plus directe, à travers cinq affirmations à justifier.

• Affirmation 1 : Elle porte sur la droite de Mayer. Pour la vérifier, l'élève doit diviser le nuage de points ordonné en deux groupes, calculer le point moyen de chaque groupe (\(G_1\) et \(G_2\)), puis déterminer l'équation de la droite passant par ces deux points. Un calcul complet est nécessaire pour valider ou invalider l'équation \( y = 3,5 x + 22,5 \) proposée.
• Affirmation 2 : Il s'agit d'utiliser le modèle de la droite de Mayer pour calculer une valeur prédite (pour \(x=4\) k€) et la comparer à la valeur réelle correspondante du tableau.
• Affirmation 3 : Cette question teste l'impact de l'ajout d'une nouvelle donnée sur le point moyen global. Il faut calculer le point moyen avant et après l'ajout du point (5, 45) pour vérifier s'il reste inchangé.
• Affirmation 4 : Une question d'extrapolation. L'élève doit utiliser l'équation de la droite de Mayer pour un budget très élevé (100 k€) et vérifier si le chiffre d'affaires prédit atteint bien le seuil de 350 k€.
• Affirmation 5 : Il s'agit d'analyser les données brutes du tableau. L'élève doit vérifier si, pour toute paire de points dont les budgets diffèrent de 1 k€, l'écart de chiffre d'affaires est toujours d'au moins 3 k€. Cela revient à examiner la pente locale entre les points.