Obtenez le corrigé complet d'un contrôle de mathématiques de niveau Première STI2D, centré sur le chapitre des statistiques à deux variables. Ce sujet, conçu pour une épreuve d'1h30 avec calculatrice, est une ressource idéale pour s'exercer à l'ajustement affine, la régression linéaire par la méthode des moindres carrés, et l'interprétation critique de modèles statistiques. Chaque exercice est analysé en détail pour vous aider à maîtriser les compétences clés du programme.

Exercice 1 : Le chauffage d'un gymnase (7 points)

Cet exercice classique de statistiques à deux variables explore la relation entre le nombre de degrés-jours unifiés (DJU), noté \( x \), et la consommation de gaz en MWh, notée \( y \). Il sert de base pour appliquer toutes les étapes de l'analyse statistique.

• Ajustement affine : La première question demande d'évaluer la pertinence d'un ajustement linéaire en observant la forme du nuage de points fourni.
• Calcul du point moyen \( G \) : Vous devez calculer les coordonnées du point moyen \( G(\bar{x}, \bar{y}) \) de la série, une étape fondamentale avant de déterminer la droite de régression.
• Droite des moindres carrés : En utilisant les fonctionnalités statistiques de la calculatrice, l'objectif est de trouver l'équation de la droite \( y = ax + b \) qui minimise la somme des carrés des résidus.
• Interprétation des coefficients : À partir de l'équation donnée \( y = 0,119 x + 6,3 \), il faut donner un sens concret au coefficient directeur \( a \) (la consommation supplémentaire par DJU) et à l'ordonnée à l'origine \( b \).
• Utilisation du modèle pour la prédiction : L'exercice teste votre capacité à utiliser l'équation pour faire des prévisions (calcul d'image) et à déterminer une condition limite (résolution d'inéquation), comme trouver le nombre de DJU pour ne pas dépasser un budget.
• Analyse critique du modèle : La dernière question invite à réfléchir sur le domaine de validité du modèle et ses limites pour des extrapolations extrêmes.

Exercice 2 : Question ouverte – la croissance de Léo (5 points)

Cet exercice évalue l'autonomie et la capacité à mettre en œuvre une démarche de modélisation complète. À partir des données de croissance de Léo, il faut construire un modèle et l'utiliser pour répondre à des questions prospectives.

• Création du modèle : Vous devez choisir un ajustement affine, entrer les données (âge, taille) dans la calculatrice et déterminer l'équation de la droite de régression.
• Calcul d'image et d'antécédent : Le modèle est ensuite utilisé pour répondre à deux questions : à quel âge Léo atteindra 1,30 m (recherche d'un antécédent) et quelle taille il fera à 20 ans (calcul d'une image).
• Argumentation et limites : Il est crucial de justifier la démarche et de discuter la pertinence d'une extrapolation sur le long terme pour un phénomène biologique complexe comme la croissance.

Exercice 3 : La distance de freinage (4 points)

Cet exercice se concentre sur l'analyse critique de la pertinence d'un modèle linéaire. Une droite d'ajustement est donnée pour modéliser la distance de freinage en fonction de la vitesse.

• Validité du modèle aux extrêmes : On vous demande de calculer une prédiction pour une faible vitesse, ce qui conduit à un résultat physiquement impossible (distance négative), illustrant une limite du modèle.
• Étude des résidus : Il faut compléter un tableau en calculant l'écart entre les mesures réelles et les prévisions du modèle. L'analyse du signe de ces écarts permet de détecter une tendance (par exemple, une courbure dans le nuage de points) que le modèle linéaire ne capture pas.
• Conclusion : La synthèse de l'exercice consiste à conclure si l'ajustement affine est une bonne modélisation pour la distance de freinage, en s'appuyant sur les arguments précédents.

Exercice 4 : Une mesure à part (4 points)

Le dernier exercice aborde la notion importante de point aberrant (outlier) et son impact sur la régression linéaire, dans le contexte de la consommation d'un camion.

• Détection d'un outlier : Il faut justifier, par l'analyse des données et du contexte, pourquoi une mesure est atypique par rapport aux autres.
• Comparaison de modèles : Deux droites de régression sont fournies (avec et sans le point aberrant). Vous devez les utiliser pour faire des prédictions et comparer l'influence de ce point unique.
• Influence sur les coefficients : L'exercice demande de comparer les pentes des deux droites pour comprendre comment un point aberrant peut "tirer" la droite de régression vers lui.
• Choix éclairé du modèle : Finalement, il est demandé de choisir le modèle le plus fiable pour faire des prévisions dans des conditions standards, en justifiant ce choix.